5??2m?2?2m??4m?4m2－12?102＝?2－?＝9m. 2－－4??3?－?3??3?＋3?4
故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.
5
x2y2
17.(2015·重庆，21)如图，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直
ab线交椭圆于P、Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
17.解 (1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2. 设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c＝3，即c＝3，从而b＝a2－c2＝1. x22
故所求椭圆的标准方程为＋y＝1.
4(2)法一 如图
x2y2002＋y2＝c2， 设点P(0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则2＋2＝1，00aba2b2
2
求得0＝±a－2b，y0＝±.
cc由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得0＞0，从而
22－2b2b4aa??2|PF1|＝?＋c?＋c2＝2(a2－b2)＋2aa2－2b2＝(a＋a2－2b2)2.
c??
由椭圆的定义,|PF1|＋|PF2|＝2a,|QF1|＋|QF2|＝2a, 从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|,有|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|， 因此，(2＋2)|PF1|＝4a，即(2＋2)(a＋a2－2b2)＝4a， 于是(2＋2)(1＋
2e2－1)＝4，解得
e＝2
1??4?－1??1＋?＝6－3. ?2??2＋2???
法二 如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，得|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a. 由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此
|PF1|2＋|PF2|2c
e＝＝＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－3. a2a
x2y2218.(2015·福建，18)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)过点(0，2)，且离心率e＝.
ab2(1)求椭圆E的方程；
9
－，0?与以线段AB为直径(2)设直线l：＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G??4?的圆的位置关系，并说明理由.
b＝2，
??c2?a＝2，
18.解 法一 (1)由已知得，?＝，解得?b＝2，
a2??a＝b＋c.?c＝2.
2
2
2
x2y2
所以椭圆E的方程为＋＝1.
42
x＝my－1，??
(2)设A(1，y1)，B(2，y2)，AB的中点为H(0，y0).?x2y2得(m2＋2)y2－2my－3＝0.
??4＋2＝12m3m
所以y1＋y2＝2，y1y2＝－2，从而y0＝2.
m＋2m＋2m＋2所以|GH|2＝
5?525?x0＋9?＋y2?222my＋＝＋y000＝(m＋1)y0＋my0＋. 4?4???216
2
2
|AB|2（x1－x2）2＋（y1－y2）2
＝ 44（1＋m2）（y1－y2）2＝
4（1＋m2）[（y1＋y2）2－4y1y2]＝ 4
＝(1＋m2)(y20－y1y2)，
3（1＋m2）2517m2＋2|AB|25255m2
2
故|GH|－＝my0＋(1＋m)y1y2＋＝－＋＝＞0，
42162（m2＋2）1616（m2＋2）m2＋2
2
所以|GH|＞
9|AB|
－，0?在以AB为直径的圆外. .故点G??4?2
法二 (1)同法一.
99→→
x1＋，y1?，GB＝?x2＋，y2?. (2)设点A(1，y1)，B(2，y2)，则GA＝?44????
x＝my－1，??
由?x2y2得(m2＋2)y2－2my－3＝0， ??4＋2＝1
2m3
所以y1＋y2＝2，y1y2＝－2，
m＋2m＋2
9955→→
x1＋??x2＋?＋y1y2＝?my1＋??my2＋?＋y1y2 从而GA·GB＝?4??4?4??4???525
＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋
41652
m
－3（m2＋1）225＝＋＋ m2＋2m2＋21617m2＋2＝＞0， 16（m2＋2）
→→
所以cos〈GA，GB〉＞0.
→→
又GA，GB不共线，所以∠AGB为锐角. 9
－，0?在以AB为直径的圆外. 故点G??4?
x2y2
19.(2015·陕西，20)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，
ab1
(0，b)的直线的距离为c.
2(1)求椭圆E的离心率；
5
(2)如图，AB是圆M：(＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E
2的方程.
19.解 (1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为b＋cy－bc＝0， 则原点O到该直线的距离d＝
bcbc1c32－c2,解得离心率＝＝,由d＝c,得a＝2b＝2a. 2a2b2＋c2a
(2)法一 由(1)知，椭圆E的方程为2＋4y2＝4b2.① 依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝10，
易知,AB与轴不垂直,设其方程为y＝(＋2)＋1,代入①得(1＋42)2＋8(2＋1)＋4(2＋1)2－4b2＝0， 8k（2k＋1）4（2k＋1）2－4b2
设A(1，y1)，B(2，y2)，则1＋2＝－，12＝，
1＋4k21＋4k28k（2k＋1）1
由1＋2＝－4，得－＝－4，解得＝，从而12＝8－2b2，
21＋4k2于是|AB|＝
1?25?1＋?2?|1－2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝10（b2－2），
2
由|AB|＝10，得10（b2－2）＝10，解得b2＝3， x2y2
故椭圆E的方程为＋＝1.
123
法二 由(1)知，椭圆E的方程为2＋4y2＝4b2，②
依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝10，
22222
设A(1，y1)，B(2，y2)，则21＋4y1＝4b，2＋4y2＝4b，
两式相减并结合1＋2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(1－2)＋8(y1－y2)＝0， 易知AB与轴不垂直，则1≠2， 所以AB的斜率AB＝
y1－y21
＝， x1－x22
1
因此直线AB的方程为y＝(＋2)＋1，代入②得2＋4＋8－2b2＝0，
2所以1＋2＝－4，12＝8－2b2， 于是|AB|＝
1?25?1＋?2?|1－2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝10（b2－2）.
2
由|AB|＝10，得10（b2－2）＝10，解得b2＝3， x2y2
故椭圆E的方程为＋＝1.
123
x2y2220.(2015·北京，19)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，
ab2n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交轴于点M.
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