天然肠衣搭配问题

2.问题分析

根据题意，由题中所给的表1可知，成品规格有3种：

第一种成品由最短长度L1min=3米，以0.5米为一档，最大长度L1max=6米，之间长度的组成，且20根为一捆，总长度为89米；

第二种成品由最短长度L2min=7米，以0.5米为一档，最大长度为L2max=13.5米，之间的长度组成，且8根为一捆，总长度为89米；

第三种成品为最短长度L3min=14米，以0.5米为一档，最大长度L3max没有上限，但实际长度应小于26米，的长度组成，以20根为一捆，总长度为89米。

根据表2的已知条件可设计出原料搭配方案。 根据该公司的要求：

（1）对于数量一定的一批原料，装出的成品捆数越多越好，即剩余原料越少，方案越好；

（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好，即假若有两种方案，装出的成品捆数都是a,若方案1的最短长度是b,方案2的最短长度是c,b>c,则取方案1；

（3）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用，如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆绑，成品属于7-13.5米的规格；在满足题意的要求下，我们对此设计出最优分配方案，建立最优化模型。

根据表1，2的数据以及各种成品的长度和根数列出含有未知数的等式，利用MATLAB和LINGO软件求出其解，最大值Kmax及分配方案。

3.模型的假设

（1）假设题中所给的数据完全真实可靠； （2）假设测量肠衣时的误差可以忽略不计； （3）假设由于肠衣的弹性造成的误差忽略不计； （4）假设所有肠衣的质量，弹性都一样； （5）假设原料降级使用时不能剪断.

4.符号说明

Limin:第i种成品的最短长度(i?1,2,3）Limax：第i种成品的最大长度(i?1,2,3） Mi:第i种成品的最大捆数（i?1,2,3）Kmax:最大捆数Si:第i种成品加工后剩余的原料L:一捆的长度lj：长度

aj：根数

3

Nj：总长度(j?1,2,3?n)

Cj：第i种成品原料的总长度

5.模型的建立与求解

按题意要求，如果想要提高原料使用率，允许有正负0.5的误差，总根数允许比标准少一根；当原料出现剩余时可以降级使用。

因为可以降级使用，所以我们先算出第三种成品的最大捆数M3，计算出第三种成品的余量S3,按此模型依次算出第二种成品的最大捆数，第二种成品的余量；及第一种产品的最大捆数；和总原料最后的剩余量。

为了更好的找到原料搭配方案，所以我们先估算出了最大捆数和剩余量，下面是我们估算的过程：

根据我们理解的题意我们，得到了一个模型：

依据模型列出公式C??lj?aj（1）

i?1nMj?Cjlj （2）

Si?Ci?Mi?l （3）

当i=3，j =24时将表1,2的数据代入（1）（2）（3）式，得出M3?133 S3?87即分别为第三种成品的最大捆数，剩余量。

如图（1） 长度 14 根数 35 乘积 490 长度 17.5 根数 49 乘积 857.5 长度 21 根数 27 乘积 567 乘积和 0 14.5 29 420.5 18 50 900 21.5 16 129 0 15 30 450 18.5 64 1184 22 12 264 0 0 15.5 42 651 19 52 988 22.5 2 45 16 16.5 28 42 448 693 19.5 20 63 49 1228.5 960 25.5 23.5 1 6 25.5 141 0 0 17 45 765 20.5 35 717.5 0 0 0 0 乘积和 3917.5 6835.5 1171.5 11924.5 当i?2,j?14时将表1,2的数据代入（1）（2）（3）式，得出M2?43 S2?45 运用相同的方法我们 分别计算出了：

1.第二种成品的最大捆数，剩余量。 如图（2） 长度 根数 乘积 长度 7 24 168 10.5 7.5 24 180 11 8 20 240 11.5 8.5 25 212.5 12 4

9 21 189 12.5 9.5 23 218.5 13 10 21 210 13.5 乘积和 1418

根数 乘积 乘积和 18 189 31 341 23 264.5 22 264 59 737.5 18 234 25 337.5 2367.5 3785.5 当i?1,j?8时将表1,2的数据代入（1）（2）（3）式，得出M1?15 S1?15.13 和

2.第一种成品的最大捆数，剩余量。 如图（3） 长度 根数 乘积 长度 根数 乘积 3 43 129 6.5 21 136.5 3.5 59 206.5 0 3 4 39 156 0 4.5 41 184.5 0 5 27 135 0 5.5 28 154 0 6 34 204 0 乘积和 1305.5 由最大捆数Kmax??Mi得出Kmax?191

i?1即这批原料可以组装191捆。

以上结果是用逻辑推理而得，并不是根据实际的最优的分配方案得到的最大捆数，和最少的剩余量，若要用最优分配方案去得到最大捆数和最少的剩余量，且最大程度的利用原料。必须最大程度的利用各成品的最大长度，故根据要求列出以下等式： n （4）

l?b?89d?jkj ?bk?d1 （5）

k?0公式（4）中bk表示各档次所取的根数(k?1,2,3,?d)； 公式（5）中d1表示各成品一捆中的根数；

运用MATLAB与LINGO得出各成品的最优分配方案、在最优分配方案下的最大的捆数和最小的剩余量：

第三种成品的分配方案如下表所示（程序见附录1）： 长度 14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 取得根数 0 3 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 2 5

20 20.5 21 21.5 23 23.5 25.5 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 用MATLAB计算得出的最大捆数为：125 又根据题中（3）为提高原料使用率，总长度允许有?0.5米的误差，总根数允许比标准少一根

我们得到了五组数据，如下表： 长度 根数 误差 长度 根数 误差 14 0 0 0 1 0 14.5 0 1 0 0 1 15 0 0 0 0 1 16 1 1 0 0 0 16.5 3 0 0 0 0 17 0 0 0 1 0 17.5 0 0 0 1 0 18 0 0 0 0 1 18.5 19.5 20.5 23.5 0 3 0 1 0 1 0 0 0 （误差1根） （误差0.5） 0 3 （误差0.5） （误差0.5） 0 2 2 0 0 总计得最大捆数：130 通过计算得出剩余原料如下表： 原料 余量 18.5 1 19 2 20 2 20.5 3 21 15 21.5 4 22.5 2 因为剩余的原料可以降级使用所以：

第二种成品的分配方案如下表（程序见附表2）： 长度 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 11 12 13 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 2 0 取得根数 0 0 0 0 1 0 0 0 5 0 0 2 0 0 6

0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 5 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 4 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 5 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 6 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 5 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 10.5 0 11.5 0 12.5 0 13.5 0