24.3正多边形和圆
基础练习
1.中心角为72°的正多边形的边数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 2.下列命题正确的是（ ）
A.正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2：1 B.正六边形的边长等于其外接圆的半径
C.圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍 D.各边相等的圆的外切四边形是正方形
3.半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为（ ） A.
B.
C.
D.2：3
4.下列图形中，旋转60°后可以和原来的图形重合的是（ ） A.正六边形 B.正五边形 C.正方形 D.正三角形
5.一个等边三角形内接于⊙O，这个等边三角形的一边所对的圆周角是（ ）. A.30° B.60° C.120° D.60°或120° 6.一个正方形的边长为4cm，则它的中心角是度，半径是cm，边心距是cm.
7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在弧AD上，则∠BEC=. 8.正六边形的边长为2cm,则边心距为cm. 拓广探索
9.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积分别为A.
B.
C.
D.
，则（ ）
10如图，有六个矩形水池环绕．矩形的内侧一边所在直线恰好围成正六边形ABCDEF，正六边形的边长为4米．要从水源点P处向各水池铺设供水管道，这些管道的总长度最短是米（所有管道都在同一平面内，结果保留根号）． 1
11.用两个圆，两个正三角形，两个正方形和两条线段设计
F A E P B D C 一
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个轴对称图形，并写上解说词.
12.（课本改编题）现在有一个边长为的正方形花布片，应该怎样裁剪，才能得到一个面积最大的正八边形花布片来做一个形状为正八边形的风筝？画出你的设计图. 参考答案： 24.3正多边形和圆 基础练习
1.C 2.B 3.A 4.A 5.D 6.90°，7.45° 8.
，2
9.C 拓广探索 10
米．
11.答案不唯一，如图所示，
12.如图所示，裁去四个等腰直角三角形，每个等腰直角三角形的腰长为
.
解题指导:转化是“正多边形
转化思想是解决数学问题的一
与圆”中的灵魂
种最基本的数学思想，在研
究问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。在正多边形与圆的计算中，正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算问题，一般转化为解直角三角形问题。下面谈谈正多边形与圆中的转化思想。
例1 已知，如图1，等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝10半径为。
解析 作正三角形的边心距，连结半径，转化成特殊的直角三角形，再利用勾股定理求解。作OD⊥AD，由等边三角形的性质可知：∠OBD＝30°。由垂
，则⊙O的
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径定理可得：BD＝5理可知：
，设OB＝，则OD＝，解得
。
。在Rt△BOD中，由勾股定
图1 图2 图3
例2 已知，如图2，正六边形ABCDEF的边长为6半径R、边心距、面积
。
，求这个正六边形的
分析 这是关于正多边形与圆的计算问题。解决这类问题时，一般应找到由半径、边心距、边长的一半组成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形的问题来解决。
解答 过中心O作OH⊥AB于H，连结OA、OB，得Rt△AOH。 因为 ∠AOH＝在Rt△AOH中，
。所以R＝2AH＝AB＝6
；
，求边长AB；
例3 已知，如图3，正八边形ABCDEFGH，⊙O的半径为的长。
分析 因为ABCDEFGH是正八边形，要求边长，可连结OA、OB，则OA＝OB，注意到∠AOB＝360°÷8＝45°，所以可以过A作AM⊥OB，转化为直角三角形求解。
解答 连结OA、OB，则∠AOB＝360°÷8＝45°，过A作AM⊥OB，所以△AOM是等腰直角三角形，利用勾股定理可求AM＝OM＝1，所以BM＝－1。在Rt△ABM中，由勾股定理可得：
，所以AB＝
。
综上所述，正三角形、正六边形和正八边形的有关计算问题，实际上转化为特殊的直角三角形求解，应掌握这种转化思想。
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