人教A版2020届高考数学二轮复习：数列(基础)

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解得??a1＝1，?d＝－1.

故数列{an}的通项公式为an＝2－n.

(2)设数列???an????2n－1???的前n项和为Sn, ∵an2－n1n2n－1＝2n－1＝2n－2－2n－1, ∴Sn＝

???2＋1＋11＋12＋22＋…??23n?2n－2??－??1＋2＋22＋…＋2n－1??. 记T23nn＝1＋2＋22＋…＋2n－1,① 则1＝123n2Tn2＋22＋23＋…＋2n,② ①－②得：1＋111n2Tn＝12＋22＋…＋2n－1－2n, 1－1∴12nn2Tn＝1－2n. 1－2即Tn＝4??1?n?1－2n??－2n－1. 2???1?∴Sn＝?1－??2??n???－4??1－1??n??1－1????1－1??nn1－1?2n?＋2n－1＝4?2n?－4?2n?＋2n－1＝2n－1 2

千里之行 始于足下

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核心考点五：分组求和

1.已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2(??+??),a3+a4+a5=64(??+??+??) 1

2

3

4

5

11111

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=(an+??)2,求数列{bn}的前n项和Tn.

??

1

【解答】解：(1)设正等比数列{an}首项为a1,公比为q,由题意得：{1??1??2(1+??+??2)=64?????4

1

??1(1+??)=2??????(1+??)

1

11

??12??=2??=1?{26?{1∴an=2n﹣

??=2??1??=64(1+??+??2)

1

(6分)

1

1

(2)????=(2???1+2???1)2=4???1+(4)???1+2 ∴bn的前n项和Tn=

1(1?4??)1?4

+

1(1???)41?

141

+2??=3?4???3?(4)??+2??+1

141

2.设{an}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式;

(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn. 【解答】解：(1)∵设{an}是公比为正数的等比数列 ∴设其公比为q,q＞0 ∵a3=a2+4,a1=2

∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1 ∵q＞0 ∴q=2

∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n (2)∵{bn}是首项为1,公差为2的等差数列

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∴bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1 ∴数列{an+bn}的前n项和Sn=

2(1?2??)??(1+2???1)1?2

+

2

=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2

(1)若an＝bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.

?bn，n为奇数，(2)通项公式为an＝?的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等

?cn，n为偶数差数列,可采用分组求和法求和.

3. {an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1),则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( ) A.－200 B.－100 C.200 D.100 【答案】 D

nπ

4.数列{an}的通项公式an＝ncos 2,其前n项和为Sn,则S2 012等于( ) A.1 006 B.2 012 C.503 D.0 【答案】 A

n2＋n

5. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2,n∈N*. ①求数列{an}的通项公式;

②设bn＝2????＋(－1)nan,求数列{bn}的前2n项和. 【解】 ①当n＝1时,a1＝S1＝1; n2＋n当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2－故数列{an}的通项公式为an＝n. ②由①知an＝n,故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n,则

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n－12＋2n－1＝n. 千里之行 始于足下

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T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记A＝21＋22＋…＋22n,B＝－1＋2－3＋4－…＋2n,则 2A＝1－22n＝22n＋1－2, 1－2B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n, 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 6.(12分)在等差数列{an}中,a3＋a4＋a5＝84,a9＝73. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.

【解】 (1)因为{an}是一个等差数列, 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84,所以a4＝28. 设数列{an}的公差为d,

则5d＝a9－a4＝73－28＝45,故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9,即a1＝1,

所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*). (2)对m∈N*,若9m

＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)

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