个性化辅导讲义
学生： 科目： 第 阶段第 次课 教师： 赵辉
⒈空间向量； 课 题 教学目标 ⒉相等的向量； ⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 1、空间向量的加减与数乘运算及运算律． 2、应用向量解决立体几何问题． 考点及考试要求 重点、难点 教学内容 知识框架 空间中具有大小和方向的量叫做向量 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 空间任意两个向量是共面的 空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)； ⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb． 1．共线（平行）向量： 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向????量。读作：a平行于b，记作：a//b． 2．共线向量定理： ????????对空间任意两个向量a,b(b?0),a//b的充要条件是存在实数?，使a??b（?唯一）． 推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的?????????????充要条件是存在实数t，满足等式OP?OA?tAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取?????????????????????????????AB?a，则①OP?OA?tABOP?(1?t)OA?tOB式可化为或② ????1????????当t?时，点P是线段AB的中点，此时OP?(OA?OB)③ 22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式． 1? 1
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3．向量与平面平行： 个性化辅导讲义
???????已知平面?和向量a，作OA?a，如果直线OA平行于?或在?内，那么我们说向量a平行??a 于平面?，记作：a//?． 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的． 4．共面向量定理： ?a ? ????????如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使p?xa?yb． 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使????????????????????????????? MP?xMA?yMB或对空间任一点O，有OP?OM?xMA?yMB①上面①式叫做平面MAB的向量表达式． 空间向量的数量积 1．空间向量的夹角及其表示： ??????????????已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与b的????????夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有?a,b???b,a?； ???????a若?a,b??，则称与b互相垂直，记作：a?b； 2 2．向量的模： ???????????设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|； 3．向量的数量积： ????????已知向量a,b，则|a|?|b|?cos?a,b?叫做a,b的数量积，记????????作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?a,b?． ??????已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，?????作点A在l上的射影A?，作点B在l上的射影B?，则A?B?叫做??????????le向量AB在轴上或在上的正射影；可以证明A?B?的长度?????????????|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|． ?e B A? A B? C 4．空间向量数量积的性质： ?????（1）a?e?|a|cos?a,e?． ????（2）a?b?a?b?0． （3）|a|?a?a． 5．空间向量数量积运算律： ?2????????（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)． ????（2）a?b?b?a（交换律）． ???????（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）． 2 杭州龙文教育科技有限公司
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考点一： 典型例题 ????1????2????2????1已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP?OA?OB?OC， 555试判断：点P与A,B,C是否一定共面？ ????????????????解：由题意：5OP?OA?2OB?2OC， ∴(OP?OA)?2(OB?OP)?2(OC?OP)， ????????????????????????∴AP?2PB?2PC，即PA??2PB?2PC， ????????????????????????所以，点P与A,B,C共面． 2．已知?ABCD，从平面AC外一点O引向量 ?????????????????????????????????OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD， （1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG． ????????????解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD， ????????????∵EG?OG?OE， ?????????????????????????????k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)????????????????????????????????? ?k(OB?OA?OD?OA)?OF?OE?OH?OE?????????EF?EH∴E,F,G,H共面； ????????????????????????????????（2）∵EF?OF?OE?k(OB?OA)?k?AB，又∵EG?k?AC， ∴EF//AB,EG//AC 所以，平面AC//平面EG． 3 O D A B C 杭州龙文教育科技有限公司 H G E F
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????????????????????????????????3、已知两个非零向量e1,e2不共线，如果AB?e1?e2，AC?2e1?8e2，AD?3e1?3e2， 求证：A,B,C,D共面． 知识概括、方法总结与易错点分析 针对性练习 ????????????????1对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OP?xOA?yOB?zOC （其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？ 解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC， ????????????????????????∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ????????????∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面． ????????????????????????????2．已知a?3m?2n?4p,b?(x?1)m?8n?2yp，a?0，若a//b，求实数x,y的值。 3．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中点， 求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG． 4
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