2019高中数学 课时分层作业17 向量数乘运算及其几何意义 新人教A版必修4

课时分层作业(十七) 向量数乘运算及其几何意义

(建议用时：40分钟)

[学业达标练]

一、选择题 1?11.?3?2

a＋8b－

a－2b??等于( )

?

A．2a－b C．b－a

1

B [原式＝(a＋4b－4a＋2b)

31

＝(－3a＋6b) 3＝－a＋2b＝2b－a.]

B．2b－a D．a－b

2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )

【导学号：84352203】

①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.

A．①④ C．①③

B．①② D．③④

B [①正确．②正确．③错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0当m＝0时也成立，推不出a＝b.④错误．由ma＝na得(m－n)a＝0当a＝0时也成立，推不出m＝n.]

→→→→

3．若5AB＋3CD＝0，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是( ) A．平行四边形 C．矩形

B．菱形 D．等腰梯形

→→→→→→→→

D [由5AB＋3CD＝0知，AB∥CD且|AB|≠|CD|，故此四边形为梯形，又|AD|＝|BC|，所以梯形ABCD为等腰梯形．]

4．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )

【导学号：84352204】

①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；

②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0； ③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)； →→

④已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b. A．①②

B．①③

1

C．② D．③④

28

A [对于①，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于②由于λ≠μ.故λ，μ

77μ

不全为0，不妨设λ≠0则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于③，当x＝y＝0

λ时，a与b不一定共线；对于④，梯形中没有条件AB∥CD，可能AC∥BD，故a与b不一定共线．]

5．如图2-2-31，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那→

么EF＝( )

图2-2-31

1→1→A.AB－AD 231→1→B.AB＋AD 421→1→C.AB＋DA 321→2→D.AB－AD 23

→1→→2→→→→1→2→2→

D [EC＝AB，CF＝CB＝－AD，所以EF＝EC＋CF＝AB－AD.]

23323二、填空题

6．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 1

－ [由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b， 3因为a与b不共线，

??1＝3λ1，所以有?

?λ＝－λ1，?

1

λ＝，??3解得?1

λ＝－.??3

1

]

→→→→→

7．若AP＝tAB(t∈R)，O为平面上任意一点，则OP＝________.(用OA，OB表示)

【导学号：84352205】

→→→→→→→→

(1－t)OA＋tOB [AP＝tAB，OP－OA＝t(OB－OA)，

2

→

OP＝OA＋tOB－tOA＝(1－t)OA＋tOB.]

→

→→→|AB|

8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则＝________.

→|BC|→→→

2 [∵OA－3OB＋2OC＝0，

→→→→→→∴OB－OA＝2(OC－OB)，∴AB＝2BC， →|AB|∴＝2.] →|BC|三、解答题

1

9．如图2-2-32，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，

3

→→→→→

DC与OA交点为E，设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.

【导学号：84352206】

→→→→

图2-2-32

[解]∵AC＝BA，∴A是BC的中点， →1→→

∴OA＝(OB＋OC)，

2→→→

∴OC＝2OA－OB＝2a－b. →→→→2→∴DC＝OC－OD＝OC－OB

325

＝2a－b－b＝2a－b.

33

→→→

10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

[解] 设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，

→→→→

∵DB＝CB－CD＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，AB＝2e1＋ke2. →→

又∵A，B，D三点共线，∴AB＝λDB， ∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，

3

??2＝－λ，∴?

?k＝4λ，?

∴k＝－8，

∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．

[冲A挑战练]

1．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的条件是( )

|a||b|A．a＝－b C．a＝2b

B．a∥b

D．a∥b且|a|＝|b|

abC [，分别表示a，b的单位向量．对于A，当a＝－b时，≠；对于B，

|a||b||a||b|

abababa2bb当a∥b时，可能有a＝－b，此时≠；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于

|a||b||a||2b||b|

D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的条

|a||b||a||b|件是a＝2b，选C.]

→→→→

2．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P ，且PA＋PB＋PC＝AB，则( )

【导学号：84352207】

A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部

C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上

→→→→→→→→→

D [因为PA＋PB＋PC＝AB，所以PA＋PC＝AB＋BP＝AP， →→→→所以2AP＋PA＋PC＝3AP， →→→→→所以(AP＋PA)＋(AP＋PC)＝3AP， →→即AC＝3AP，

所以点P在AC边上，且为AC的三等分点．] 3．如图2-2-33所示，给出下列结论：

abab

图2-2-33

→33→33①PQ＝a＋b；②PT＝－a－b；

2222

4