学案8 单 摆
[目标定位] 1.知道什么是单摆.2.理解偏角很小时单摆的振动是简谐运动.3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式并能用它进行计算.4.会用单摆测定重力加速度．
一、单摆的回复力
1．单摆：用细线悬挂着小球，如果细线的质量与 相比可以忽略，球的直径与细线长度相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆．单摆是实际摆的 模型．
2．单摆的回复力：在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成 ，方向总是指向 ，因此单摆做 ．
想一想 单摆的回复力是否就是单摆所受的合外力？ 二、单摆的周期
荷兰物理学家 确定了计算单摆周期的公式：T＝2π
l
，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的g
二次方根成 ，与重力加速度g的二次方根成 ，而与振幅、摆球质量 (填“有关”或“无关”)．
想一想 在课本“探究单摆的振幅、摆球的质量、摆长对周期的影响”实验中运用了什么方法？ 三、用单摆测定重力加速度 原理：根据单摆的周期公式：T＝2π的重力加速度g.
一、单摆及单摆的回复力 1．单摆
(1)单摆是实际摆的理想化模型 (2)实际摆看作单摆的条件
①摆线的形变量与摆线长度相比小得多 ②悬线的质量与摆球质量相比小得多 ③摆球的直径与摆线长度相比小得多 2．单摆的回复力
(1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切向的分力F＝mgsin θ提供的．
l4πl
，可得：g＝2，测出单摆的 l、周期T，可以求出当地gT
2
图11－4－1
x
(2)如图11－4－1所示，在最大偏角很小的条件下，sin θ≈，其中x为摆球对平衡位置O点的位移．
lmgmg
单摆的回复力F＝－x，令k＝，则F＝－kx.由此可见，单摆在偏角很小的条件下的振动为简谐运动．
ll注意：(1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零．
(2)单摆的回复力为小球受到的沿切线方向的合力，而不是小球受到的合外力． 【例1】 对于单摆振动，以下说法中正确的是( ) A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力 C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零
借题发挥 单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力．摆球所受的合外力在摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力．因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力)． 二、单摆的周期
1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟． 2．单摆的周期公式：T＝2π3．对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)． (2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球．
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关．所以单摆的周期也叫固有周期．
【例2】 若单摆的摆长不变，摆球的质量由20 g增加为40 g，摆球离开平衡位置的最大角度由4°减为2°，则单摆振动的( )
A．频率不变，振幅不变 B．频率不变，振幅改变 C．频率改变，振幅不变 D．频率改变，振幅改变 【例3】 如图11－4－2所示是两个单摆的振动图象．
l
. g
图11－4－2
(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？
(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？
三、用单摆测定重力加速度 1．实验原理
单摆在偏角很小(不大于5°)时的运动，可看成简谐运动，其固有周期T＝2π通过实验测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度值． 2．实验器材
铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为1 mm)、游标卡尺． 3．实验步骤
(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个比孔稍大一些的线结，制成一个单摆． (2)把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．
(3)用刻度尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬点到球心间的距离)．
(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角小于等于5°，再释放小球．当摆球摆动稳定以后，过最低点位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期．
(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格． 4．数据处理
4πl
(1)公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝2中求出g值，最后求出g的平均值．
T
2
l4πl
，可得g＝2.据此，gT
2
图11－4－3 (2)图象法：由T＝2π
2
l4π222得T＝l作出T－l图象，即以T为纵轴，以l为横轴．如图11－4－3所gg
2
4π
示．其斜率k＝，由图象的斜率即可求出重力加速度g.
g
注意：(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线，长度一般为1 m左右．小球应选用质量大、体积小的金属球．
(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小．
(3)摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．
(4)计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点位置时开始计时，以摆球从同一方向通过最低点时计数，要多测几次(如30次或50次)全振动的时间，并用取平均值的办法求周期．
【例4】 将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图11－4－4甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.
2
图11－4－4
(1)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时，按下停表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“59”时，按表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为( ) A.
tttt B. C. D. 2929.53059
2
(2)如果实验中所得到的T－L关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________． (3)由图象可知，小筒的深度h＝________ m；当地重力加速度g＝________ m/s.
单摆及其回复力
1．单摆振动的回复力是( ) A．摆球所受的重力
B．摆球重力在垂直悬线方向上的分力 C．悬线对摆球的拉力
D．摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力
2
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