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2020年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．
（1）若z?cos??isin?（i为虚数单位），则使z2??1的?值可能是（ ） A．
? 6B．
? 4C．
? 3D．
? 2（2）已知集合M???11，?，N??xA．??11，?
B．??1?
?1??2x?1?4，x?Z?，则M?2?C．?0?
D．??10，?
N?（ ）
（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
，，，3?，则使函数y?x的定义域为R且为奇函数的所有a值为（ ）（4）设a???11
A．1，3
B．?1，1
C．?1，3
D．?1，1，3
??1?2?a（5）函数y?sin?2x?A．?，1
????????cos2x????的最小正周期和最大值分别为（ ） 6?3??C．2?，1
D．2?，2
B．?，2
（6）给出下列三个等式：f(xy)?f(x)?f(y)，f(x?y)?f(x)f(y)，
f(x?y)?f(x)?f(y)，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
1?f(x)f(y)xA．f(x)?3
B．f(x)?sinx
32C．f(x)?log2x
D．f(x)?tanx
（7）命题“对任意的x?R，x?x?1≤0”的否定是（ ）
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A．不存在x?R，x?x?1≤0 B．存在x?R，x?x?1≤0 C．存在x?R，x?x?1?0 D．对任意的x?R，x?x?1?0
（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（ ）
A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，45
（9）下列各小题中，p是q的充要条件的是（ ） ①p：m??2或m?6；q：y?x?mx?m?3有两个不同的零点． ②p:23232频率/组距 0.36 0.34 32320.18 0.06 0.04 0.02 0 13 14 15 16 17 18 19 秒
开始 输入n Sf(?x)?1；q:y?f(x)是偶函数． f(x)?0，T?0 ③p:cos??cos?；q:tan??tan?． ④p:AB?A；q:UB?UA．
x?22 否 s?s?n A．①② B．②③ C．③④ D．①④
（10）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（ ） A．2500，2500 B．2550，2550 C．2500，2550 D．2550，2500`
（11）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ ） A．AC?ACAB C．AB?ACCD
22n?n?1 输出S，T 结束 T?T?nB．BC?BABC D．CD?22n?n?1 (ACAB)?(BABC)AB2
（12）位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
13)的概，质点P移动五次后位`于点(2，22020年最新
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率是（ ）
?1?A．??
?2?2
2?1?B．C3?? ?2?32?1?C．C3?? ?2?22?1?D．C1C23?? 2??3第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上． （13）设O是坐标原点，F是抛物线y?2px(p?0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为 ．
2?x?2y≤10，?2x?y≥3，?（14）设D是不等式组?表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线
0≤x≤4，???y≥1x?y?10距离的最大值是 ．
（15）与直线x?y?2?0和曲线x?y?12x?12y?54?0都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
（16）函数y?loga(x?3)?1(a?0，且a?1)的图象恒过定点A，若点A在直线
22mx?ny?1?0上，其中mn?0，则
12?的最小值为 ． mn三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 设数列?an?满足a1?3a2?3a3?…?32n?1an?n*，a?N． 3（Ⅰ）求数列?an?的通项； （Ⅱ）设bn?n，求数列?bn?的前n项和Sn． an（18）（本小题满分12分）
设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量?表示方程x?bx?c?0实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程x?bx?c?0有实根的概率； （Ⅱ）求?的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x?bx?c?0有实根的概率．
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（19）（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知DC?DD1?2AD?2AB，AD?DC，
AB∥DC．
（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD1； （Ⅱ）求二面角A1?BD?C1的余弦值．
（20）（本小题满分12分）
D1 A1 B1
C1
D A
B
E
C 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102北 海里，问乙船每小时航行多少海里？ 120 A
2
B2
105 A
1
B1
甲 （21）（本小题满分12分） 乙 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． （22）（本小题满分14分） 设函数f(x)?x?bln(x?1)，其中b?0． （Ⅰ）当b?21时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 2（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln?
?1?11?1??2?3都成立． n??nn2020年最新
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2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题 （1）D （2）B （7）C （8）A
（3）D
（9）D
（4）A （10）D
（5）A （11）C
（6）B （12）B
第Ⅱ卷
二、填空题 （13）21p 2
（14）42 （15）(x?2)?(y?2)?2
22（16）8
三、解答题 （17）（本小题满分12分）
n， ① 3n?1?当n≥2时，a1?3a2?32a3?…?3n?2an?1?． ②
311n?1①-②得3an?，an?n．
331在①中，令n?1，得a1?．
31?an?n．
3解：（Ⅰ）
a1?3a2?32a3?…?3n?1an?（Ⅱ）
bn?n， an?bn?n3n．
?Sn?3?2?32?3?33?…?n3n， ③ ?3Sn?32?2?33?3?34?…?n3n?1． ④
④-③得
?2Sn?n3n?1?(3?32?33?…?3n)．
即2Sn?n3n?13(1?3n)?，
1?3(2n?1)3n?13?Sn??．
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