数学分析简明教程答案12

第十二章 函数项级数

12.1 函数序列的一致收敛概念

1.讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： （1）fn(x)?x2?1n2， x?(??,??)； （2）fn(x)?sinxn； ⅰ）x?(?l,l)， ⅱ）x?(??,??)；

（3）f?nxn(x)1?nx,x?(0,1)； （4）f1n(x)?1?nx，

ⅰ）x?[a,??),a?0， ⅱ）x?(0,??)；

5）f?n2x2（n(x)1?n3x3， ⅰ）x?[a,??),a?0， ⅱ）x?(0,??)；

（6）fnxn(x)?x?n?1， x?[0,1]；

（7）fxnn(x)?1?xn， ⅰ）x?[0,b],b?0， ⅱ）x?[0,1]， ⅲ）x?[a,??),（8）fn2nn(x)?x?x，x?[0,1]； （9）fnn?1n(x)?x?x，x?[0,1]；

（10）fxn(x)?nlnxn，x?(0,1)； （11）f1?nxn(x)?nln?1?e?，x?(??,??)；

（12）f?(x?n)2n(x)?e，

ⅰ）x?[?l,l]， ⅱ）x?(??,??)．

解 （1）?x?(??,??)，

a?0；

limfn(x)?limn??n??x2?1?n2x2?x?f(x)．

???0，要使

fn(x)?f(x)?x2?1?x?2n1?21??n2?x??x2??n???11n???， 2nn只须n?

，取N????1，则当n?N时，对一切x?(??,??)，有fn(x)?f(x)??，

????1?1?因此fn(x)?x2?1在x?(??,??)一致收敛于f(x)?x． 2nn??n??（2）?x?(??,??)，limfn(x)?limsinⅰ）???0，由于

x?0?f(x)， nfn(x)?f(x)?sinxlx??， nnn知只要

lx?l???，故?N????1，当n?N时，有fn(x)?f(x)??，因此fn(x)?sin nn???在(?l,l)一致收敛于f(x)?0．

1n?0，?N,?n?N?1?1,xn???(??,??)，但 22?1fn(xn)?f(xn)?sin?1???0，

22x所以fn(x)?sin在(??,??) 不一致收敛到f(x)?0．

nⅱ）??0?（3）?x?(0,1)，

fn(x)?x1?xn?1?f(x)(n??)．

??0?11?0,?N,?n?N?1?N，xn??(0,1)，但 2nfn(xn)?f(xn)?所以fn(x)?nxn11?1??1???0， 1?nx1?12nx在(0,1)不一致收敛到f?x??1． 1?nx （4） ?x?(0,??)，fn(x)?ⅰ）???0，要使

1?0?f(x)(n??)．

1?nx111???? ，

1?nx1?nanafn(x)?f(x)?只须n?1?1?，取N????1，则当n?N时，有fn(x)?f(x)??，对x?[a,??)a?a???一致地成立，故fn(x)?1在[a,??)(a?0)一致收敛于f(x)?0． 1?nx11ⅱ）??0??0,?N，?n?N?1?N，xn??(0,??)，但

2nfn(xn)?f(xn)?11?n1n?1??0， 2所以fn(x)?1 在(0,??)不一致收敛于f(x)?0． 1?nxx2nn2x2??0?f(x)(n??)． （5） ?x?(0,??)，fn(x)?11?n3x3?x33nⅰ）???0，要使

n2x211fn(x)?f(x)??33????，

nxnanx只须n?1?1?，取N????1，则当n?N时，有fn(x)?f(x)??，对x?[a,??) a??a??n2x2一致地成立，故fn(x)? 在[a,??)(a?0)一致收敛于f(x)?0．

1?n3x3ⅱ）??0?11?0,?N，?n?N?1?N，xn??(0,??)，而 2n1n221nfn(xn)?f(xn)????0， 121?n33nn2x2即fn(x)? 在(0,??)不一致收敛于f(x)?0． 331?nx