高二数学 上学期7.7圆的方程例题（一）

高二数学 上学期7.7圆的方程例题（一）

例1 求圆心在直线5x－3y=8上，又与两坐标轴相切的圆的方程. 解：设圆方程为(x－a)2+(y－b)2=r2 由已知：a2=b2=r2,5a－3b=8

?a2?b2∴? ?b2?3b?4?0 ?5a?3b?8∴b=4或b=－1. 从而a=4或a=1 故r2=16或r2=1

∴(x－4)2+(y－4)2=16或(x－1)2+(y+1)2=1 例2 如果实数x,y满足x2+y2－4x+1=0 （1）求

y的最大值； xy=k，而x2+y2－4x+1=0即(x－2)2+y2=3 x（2）求y－x的最小值. 解：（1）设

即圆上求一点P，使其与O点连线的斜率最大. 由已知：CP=3，OC=2，k=3 即

y的最大值为3. x（2）设y－x=b,则y=x+b,要使b最小.则此直线与已知圆相切于第四象限， 此时C到直线距离

|2?b|2?3，

?b?6?2或?6?2

所以y－x的最小值为?6?2.

例3 已知定点A（3，0），B是圆x2+y2=1上的动点，∠AOB的平分线交AB于点M，求M点的轨迹.

分析：此题利用三角形内角平分线的比例性质，将动点坐标转化到已知圆心，达到求解轨迹方程的目的.

解：设点M（x,y），B（x0,y0）

因为OM是∠AOB的平分线，所以

BMOB1??.由定比分点公式得 MAOA31?x??30?34??x?1x?x?1??1??03? 3 解得???y?4y?y0?00??y?3?1?1??3?22∵x0?y0?1

∴(x?)?y?3422933 即为所求轨迹方程，它表示以(,0)为圆心，为半径的圆. 1644例4 过圆：x2+y2=r2外一点P（x0,y0）引此圆的两条切线，切点为A、B，则直线AB的方程为_________.

分析：此题注意与所学过圆上一点的切线的联系，体现由不熟悉向熟悉的转化，并注意直线方程形的特点.

解：设A（x1,y1），B（x2,y2）则过点A的圆的切线为x1x+y1y=r2 过点B的圆的切线为x2x+y2y=r2

又点P（x0,y0）是两切线的交点，所以：

x0x1+y0y1=r2，说明点A（x1,y1）在直线x0x+y0y=r2上 x0x2+y0y2=r2，说明点B（x2,y2）在直线x0x+y0y=r2上 所以直线AB方程为：x0x+y0y=r2

例5 在圆??x?2cos? （θ为参数）上求一点P，使点P到直线y=x－6距离最小.

?y?2sin?分析：要求学生解题方法的灵活性. 解法一（点到直线距离公式）.

设d为点P到直线y=x－6的距离，则

d?|2cos??2sin??6|2|22cos(??42??)?6|

当cos(?4??)?1即????4时，d最小=

6?222?32?2.

∴x?2cos(??)?2,y?2sin(?)??2, 44?∴所求点为P（2,?2）.

解法二（几何法）：

由点O作OQ⊥l,交圆于点P，因为点到直线距离最短，所以点P即为所求.

如图△AOB是等腰直角三角形， △OQB也是等腰直角三角形， 所以|OQ|=

2|OB|?32,|PQ|?32?2. 2∠QOB=45°，将????4代入圆参数方程可得

x?2,y??2,即P（2,?2）.