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西华大学2014年专升本
考试试题 （高等数学）
二、填空题（把答案填在括号中。本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）
f(??x)?f(0)1、设f?(0)?a,则lim ?（ ?a ）
?x?0?x( ? )
三、求解下列各题（本大题共4小题，每小题6分，总计240分）
x1、求极限lim?x?0sinx.
sinxlnx解：limx?x?0sinx?lime?x?0lnx?1?ex?1?2x?0?limsinxlnx
?ex?0?limxlnx?ex?0?x?ex?0??x?e0?1.
limlim2、求不定积分xsinxcosxdx. 解：xsinxcosxdx?2、设f(x)的一个原函数是sinx，则?xf?(x)dx?（ xcosx?sinx?C ） 3、微分方程y???5y??6y?3xe（ y?x(ax?b)e ）
*2x2x?的特解可设为
1xsin2xdx ??211???xdcos2x??[xcos2x??cos2xdx]
4411??[xcos2x?sin2x]?C
42(?x)n?x4、幂级数?的和函数为（ e ）
n!n?0?3、求定积分
?ln20ex?1dx.
25、设A???2?3??83??1则（ ） A?,?????58??52?解：令t?ex?1，则x?ln(1?t)， 故
?ln20e?1dx??t01x12tdt 1?t2二、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，21t错误的打?，本大题共5个小题，每小题2分，总?2dt?201?t2计10分）
1、点(0,0)是曲线y?sinx的拐点. ?t2?1?1?01?t2dt
( √ ) 2、直线
x?1y?3z??与平面2x?y?5z?8?0相互2?15?2(t?arctant)?2(1?).
044、设z?xyf(x?y,x?y),其中f是可微函数，求
221?垂直. ( √ )
3、如果函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内偏导数
?z?z,. ?x?y?z?z,都存在，则函数z?f(x,y)在点?x?y解：
?z?yf(x2?y,x?y2)?xy(2xf1??f2?), ?x(x0,y0) 处可微. ( ? )
4、
?z?xf(x2?y,x?y2)?xy(f1??2yf2?). ?y?un?1?n是常数项级数，若limun?0,则
n???un?1?n收
四、解答题（本大题共6小题，每小题6分，总计36分）
敛. ( ? )
5、设A,B是同型矩阵，则(A?B)(A?B)?A2?B2.
精品
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1?2xsin,x?0?1、设f(x)??,在x?0处可导，求x??ax?b,x?0a,b的值.
解：因为f(x)在x?0处可导，故f(x)在x?0处
1ln(1?)?1n解：因为lim?1，又?发散，由比较
n??1n?1nn审敛法的极限形式得4、计算二重积分
1ln(1?)发散。 ?nn?122sinx?ydxdy，其中??D?连续。即limf(x)?f(0)?b.
x?0又limf(x)?limf(x)?limxsin??x?0x?0x?021?0.因此xD??(x,y)|?2?x2?y2?4?2}.
解
：
b?0.
又f??(0)?f??(0)，
??sinD2?0x2?y2dxdy???sinrrdrd?D2?2?f(x)?f(0)ax?b?0f??(0)?lim?lim?a, ?x?0?x?0xxf(x)?f(0)f??(0)?limx?0?x1x2sin?01x?lim?limxsin?0, ?x?0?x?0xx故a?0.
2求微分方程y??2y?e解
：
?x??d??rsinrdr?2??rsinrdr
????2??rdcosr?2???2?[rcosr2????cosrdr]?2???2?[2??(??)?sinr5、求I?22??]??6?2.
?0的通解.
解
为
通
?(x?eL2y)dx?(y?xey)dy，其中L是圆
?2dx2dxy?e?[?e?xe?dx?C]周x?y?2x从点A(2,0)到原点O(0,0)的一段弧. 解
：
?e?2x[?e?xe2xdx?C]?e?2x(ex?C)
3、判断下列正项级数的敛散性.
P(x,y)?x?ey,Q(x,y)?y?xey，
3?(?1)n(1)? n3n?1??P?Q?P?Q?ey,?ey,故?，曲线积分与路径?y?x?y?x无关。选择新路径AO，故
?3?(?1)n44?解：因为0?，又收敛（等比?n33n3nn?1级数），
I??02L??(x?ey)dx?(y?xey)dyAO3?(?1)n由比较审敛法得?收敛。 n3n?1???(x?1)dx??4.
6、当a,b取何值时，方程组
(2)
1ln(1?) ?nn?1精品
?.
?ax1?2x2?3x3?4,??2x2?bx3?2,,有唯一解、无解、有无穷多?2ax?2x?3x?623?1解？
解：增广矩阵
根.
2、求证：当x?0时，有不等式
x?ln(1?x)?x. 1?x证明：设f(x)?ln(1?x)，易知函数f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导且f?(x)??a234??a234?????(A|B)??02b2???02b2?
?2a236??0?2?3?2?????34??a2????02b2? ?00b?30???当b?3时，r(A|B)?r(A)?2?3，方程组有无穷多个解。
当b?3时，方程组有唯一解。 r(A|B)?r(A)?3，五、证明题（本大题共3小题，每题5分，总计15分）
1、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)?0,又
1， 1?x由拉格朗日中值定理得：f(x)?f(0)?xf?(?)，即f(x)?f(0)?x，其中0???x. 1??又
11x??1，因此?ln(1?x)?x. 1?x1??1?x1?n?1an?3、已知{an}是等差数列，an?0，证明级数发散.
证明：{an}是等差数列，an?0，故设
an?a1?(n?1)d,d?0。
?111??于是?，取vn?，又
nn?1ann?1a1?(n?1)d?g(x)??f(t)dt??axxb1dt，证明：g(x)?0在f(t)(a,b)内有且仅有一个根.
证明：易知g(x)在[a,b]上连续，
1a?(n?1)d1lim1? n??1dn?11而?发散，由比较审敛法的极限形式得?发
ann?1nn?1g(a)??abb11dt???dt?0,af(t)f(t)?g(b)??f(t)dt??0,g(a)g(b)?0，
ab故由零点定理得，方程g(x)?0在(a,b)内至少存在一个根。 又g?(x)?f(x)?散。
1?0,故方程g(x)?0在f(x)如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
(a,b)内最多有一个根。
综上所述，方程g(x)?0在(a,b)内有且仅有一个
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