小题专题练(五) 解析几何
一、选择题
1．(2019·重庆市七校联合考试)两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为( )
35A.
565C. 5
B．4 125D.
5
2．直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－12x C．y2＝－6x
B．y2＝－8x D．y2＝－4x
x2y2→→
3．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则EF1·EF2
98的最大值、最小值分别为( )
A．9，7 C．9，8
B．8，7 D．17，8
4．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
1A. 32C. 3
B.2 3
22D.
3
5．(2019·福建省质量检查)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(5，0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为( )
1A．y＝±x
23
C．y＝±x
2
2
B．y＝±x
3D．y＝±2x
x2y22
6．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直
ab3线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
x22
A.＋y＝1 3x2y2
C.＋＝1 94
x2y2
B.＋＝1 32x2y2
D.＋＝1 95
7．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A．2x＋y－5＝0 C．x－2y－5＝0
B．2x＋y－7＝0 D．x－2y－7＝0
8．(2019·石家庄市模拟(一))已知圆C截两坐标轴所得的弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为( )
A．8 C．5
x2y29．(2019·唐山市摸底考试)已知F1，F2为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原
ab点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为( )
x2y2
A.＋＝1 62x2y2
C.＋＝1 82
x2y2
B.＋＝1 84x2y2
D.＋＝1 2016B．22 D.5
10.如图，抛物线E：x2＝4y与M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两︵
点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是( )
A．(6，12) C．(6，10)
B．(8，10) D．(8，12)
x2y2
11．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，
94且一条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程可能为( )
x22
A.－y＝1 4y22
C.－x＝1 4
y2
B．x－＝1
4
2
x2
D．y－＝1
4
2
12．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点P的横坐标为±1 D．△PF1F2的面积为2
13．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则( )
A．∠FQP＝60° C．|FP|＝4 二、填空题
B．|QM|＝1 D．|FR|＝4
14．已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝
85，则抛物线C2的方程为____________． 5
15．(2019·江西七校第一次联考)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________．
x2y2
16．如图，椭圆C：2＋＝1(a>2)，圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C
a4的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|·|PF2|＝6，则|PM|·|PN|的值为________．
x2y2x2y2
17．已知椭圆M：2＋2＝1(a＞b＞0)，双曲线N：2－2＝1.若双
abmn
曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
小题专题练(五) 解析几何
x2y2
1．解析：选D.设双曲线C的方程为2－2＝1(a>0，b>0)，则由题意，得c＝5.双曲线C
abb5b
的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以2＝2，又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以2ab＋aa＝c2－b2＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故选D.
2．解析：选D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长c2
为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所
a3x2y2
以b＝a－c＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.
95
2
2
2
3．解析：选B.因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
1－01
因为圆心与切点连线的斜率k＝＝，所以切线的斜率为－2，
3－12
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.
4．解析：选D.通解： 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因为圆C经过点(－
?（a＋1）2＋b2＝r2?
1，0)和(2，3)，所以?222，所以a＋b－2＝0 ①，又圆C截两坐标轴?（a－2）＋（b－3）＝r?
所得的弦长相等，所以|a|＝|b| ②，由①②得a＝b＝1，所以圆C的半径为5，故选D.
优解： 因为圆C经过点M(－1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得的弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线y＝±x上，因为直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1，1)，所以圆C的半径为5，故选D.
5．解析：选D.两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准形式为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1，0)．半径为3，圆心(－3
1，0)到直线MN的距离d＝，所以线段MN的长为2
5
3?2125?3－＝.故选D.
5?5?
2
6．解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.x1＋x2
又AB的中点到y轴的距离为2，所以－＝2，所以x1＋x2＝－4，所以p＝4，所以所求
2抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.
7．解析：选B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，设E(x，→→→→
y)(－3≤x≤3)，则EF1＝(－1－x，－y)，EF2＝(1－x，－y)，所以EF1·EF2＝x2－1＋y2＝x2－182x2→→→→＋8－x＝＋7，所以当x＝0时，EF1·EF2有最小值7，当x＝±3时，EF1·EF2有最大值8，
99故选B.
8．解析：选D.设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，
如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|2|FB|，知|AM|＝2|BN|，
所以点B为线段AP的中点，连接OB，
1
则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，因
222－022
＞0，所以点B的坐标为(1，22)，所以k＝＝.故选D.
31－（－2）
9．解析：选A.因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即1
|AF1|·|AF2|＝2b2，所以S△AF1F2＝|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，
2
为k＝－2，
1
且O为F1F2的中点，所以|OA|＝|F1F2|＝c，由已知不妨设A点在第一象限，则∠AOF2＝30°，
2所以A(
31111
c，c)，则S△AF1F2＝|F1F2|·c＝c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方22222
x2y2
程为＋＝1，故选A.
62
10．解析：选B.由题意可得，抛物线E的焦点为(0，1)，圆M的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M(0，1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y＝－1的距离，又PN∥y轴，故
2??x＝4y︵
|PN|＋|NM|等于点P到准线y＝－1的距离，由?2，得y＝3，又点P为劣弧AB2
?x＋（y－1）＝16?
上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y＝－1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周长的取值范围是(8，10)，选B.
x2y2x2y2
11．解析：选AD.在椭圆＋＝1中，c＝9－4＝5.因为双曲线C与椭圆＋＝1有
9494x22
相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，所以可设双曲线方程为－y＝λ(λ≠0)，化为标
4x2y2x22
准方程为－＝1.当λ＞0时，c＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1，所以双曲线C的方程为－y
44λλx2
＝1；当λ＜0时，c＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，所以双曲线C的方程为y－＝1.综上，
4
2
x22x22
双曲线C的方程为－y＝1或y－＝1，故选AD.
44
12．解析：选ACD.等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝22，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．点P(x0，
22
?x＋y?00＝2，22
?y0)在圆x＋y＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以解得|x0|＝1，则点?y0＝x0，?
1
P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为×22×1＝2，故D正确．故
2选ACD.
13.解析：选AC.如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ.又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由抛物线定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|1
＝4，|FN|＝|PF|＝2，则△FRN为等边三角形，所以|FR|＝2.故选
2AC.
14．解析：由题意，知圆C1与抛物线C2的一个交点为原点，不妨记为B，设A(m，n)．因
85??m＝5，?816??m2＋n2＝，855为|AB|＝，所以?解得?即A?5，5?.将点A的坐标代入抛物线
516??m2＋（n－2）2＝4，?n＝5，16?816322
方程得?＝2p×，所以p＝，所以抛物线C的方程为y＝x. 2
?5?555
32答案：y2＝x
5
x2y2
15．解析：化双曲线的方程为－＝1，则a＝b＝2，c＝2，因为|PF1|＝2|PF2|，所以点
22P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a＝22，解得|PF1|＝42，|PF2|（22）2＋（42）2－163
＝22，根据余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.
42×22×42
3
答案： 4
→
16．解析：由已知|PM|·|PN|＝(R－|OP|)(R＋|OP|)＝R2－|OP|2＝a2＋4－|OP|2，|OP|2＝|OP|2
1→1→1→1→→→→→→→＝(PF1＋PF2)2＝(|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|cos∠F1PF2)＝(|PF1|2＋|PF2|2)－(|PF1|2＋|PF2|2
442411→→
－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2)＝[(2a)2－2|PF1||PF2|]－×(2c)2＝a2－2，所以|PM|·|PN|＝(a2＋4)－(a2
24－2)＝6.
答案：6
17．解析：如图，六边形ABF1CDF2为正六边形，直线OA，OB是双曲线的渐近线，则π
△AOF2是正三角形．所以直线OA的倾斜角为，
3
|n|
所以其斜率k＝＝3，所以双曲线N的离心率e1＝
|m|
n21＋2＝1＋3＝2.连接F1A.因为m
2
8
正六边形的边长为c，所以|F1A|＝3c.由椭圆定义得|F1A|＋|F2A|＝2a，即c＋3c＝2a，
c2
所以椭圆M的离心率e2＝＝＝3－1.
a1＋3
答案：3－1 2
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