几何图形综合题
类型一 动点问题
1. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G.
(1)求证：△CDE≌△CBF； (2)当DE＝时，求CG的长；
(3)连接AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．
12
第1题图
（1）证明：如解图，在正方形ABCD中，DC＝BC， ∠D＝ ∠CBA＝ ∠CBF＝ ∠DCB＝ 90°， ∴∠1＋∠2＝ 90°， ∵CF⊥CE， ∴∠2＋∠3＝ 90°， ∴∠1＝ ∠3， 在△CDE和△CBF中，
??D??CBF?， ?DC?BC??1??3?∴△CDE≌△CBF(ASA);
第1题解图
(2)解：在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴△GBF∽△EAF， ∴
BGBF， ?AEAF由(1)知，△CDE≌△CBF， 1
∴BF＝ DE＝ ，
2
∵正方形ABCD的边长为1， 3
∴AF＝AB＋BF＝ ，
21
AE＝AD－DE＝ ，
2
1BG2∴?，
13221∴BG＝，
6
5
∴CG＝BC－BG＝ ；
6(3)解：不能．
理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE＝ CG， ∴AD－AE＝BC－CG， ∴DE＝BG，
由(1)知，△CDE≌△CBF， ∴DE＝BF，CE＝CF，
∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形， ∴∠GFB＝ 45°，∠CFE＝ 45°， ∴∠CFA＝ ∠GFB＋∠CFE＝ 90°，
此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符， ∴在点E运动过程中，四边形CEAG不能为平行四边形．
2.已知四边形ABCD是菱形，AB＝ 4，∠ABC＝ 60°，
∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝ 60°. (1)如图①，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
(2)如图②，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与点B、C重合)，求证：BE＝ CF；
(3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝ 15°
时，直接写出点F到BC的距离.
第2题图
(1)解：AE＝ EF＝ AF；
【解法提示】如解图①，连接AC，
第2题解图①
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝ 60°， ∴∠BCD＝ 120°， ∴∠ACE＝ ∠ACF＝ 60°，
∴AB＝ BC＝ AC，即△ABC为等边三角形， 又∵∠BAC＝ ∠1＋∠2＝ 60°， ∠EAF＝ ∠2＋∠3＝ 60°， ∴∠1＝ ∠3，
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