4.1证明所有的循环群是ABEL群 证明：
循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意a,b?G,G是循环群，有a*b?b*a成立，因为循环群中的元素可写成a=xm形式所以等式左边xm×xn?xm?n,等式右边xn xm＝xm?n，?a*b?b*a，即所有的循环群都是ABEL群。 4.2
若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数m，使xm=e，则称m为x
的阶，试证：
C=｛e,x,x2, …,xm-1｝ 证：
x是G的元素，G满足封闭性所以，xk是G中的元素 C∈G
再证C是群：
1、xi , xj∈C , xi·xj= xi+j 若i+j<=m-1,则xi+j∈C
若i+j>m,那么xi+j=xm+k=xm·xk=xk∈C 所以C满足封闭性。 2、存在单位元e.
3、显然满足结合性。 4、存在逆元， 设xa·xb=e=xm xb=xm-a
xa∈C, (xa)-1= xb=xm-a
4.3设G是阶为n 的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n.
证明：设G是阶为n 的有限群，a是G中的任意元素，a的阶素为k， 则此题要证k?n
首先考察下列n+1个元素
a,a,a,a,....a234n?1
由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于G,，而G中仅有n 个元素，所以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不妨设为
aii?aii?j（1?j?n）
ja?a?a
jj由群的性质3可知，a是单位元，即a=e，又由元素的阶数的定义可知，当a为k阶元素时a=e，且k是满足上诉等式的最小正整数，由此可证k?j?n
k4.4 若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可表示a的幂：
a,a2……..an
解：设n=p1a1…….pkak，共n个素数的乘积，所以群G中每个元素都以用这k个素数来表示，而这些素数，根据欧拉定理，一共有 Φ(n)=n(1-1/p1)………(1-1/pk)
所以群G中母元素的数目为n(1-1/p1)………(1-1/pk)个. 4.5
证明循环群的子群也是循环群
al=amq?{am}证明完毕。
4.6 若H是G的子群，x和y是G的元素，试证xH?yH或为空，或xH?yH 4.7 若H是G的子群,|H|=k,试证：
|xH|=k 其中x?G.
证明：∵H是G的子群，x?G ∴|xH|≤k
如果|xH| .4.8 有限群G的阶为n，H是G的子群，则H的阶必除尽G的阶。 答案：已知|G|=n, |H|<=|G| 设G={a0,a1,a2.......an?1}， H={b0,b1,b2......bn?1} 因为H是G的子群，所以在H中的一个(bm)r一定在G中对应一个am使得 (bm)r?am， 所以有brm?am，则rm一定是m的倍数，所以则H的阶必除尽G的阶。 4．9 G是有限群，x是G的元素，则x的阶必除尽G的阶。 解：证： 设|G|=g,则x,x2,x3,?,xg?1中必有相同元。设xk?xl, 1?k?l?g?1，则xl?k?e，1?l?k?g。 对于给定的x，存在最小的正整数r，使得xr?e。于是H?{x,x2,x3,?,xr}是G 的子群， 若H?G，则?a?H，显然，H?Ha??，H?Ha?2r。 若H?Ha?G， 则 2r?g,r|g，否则?b?H?Ha，Hb?(H?Ha)??。 于是H?Ha?Hb???G，r(k?1)?g，r|g。证毕。 4.10 若x和y在群G作用下属于同一等价类，则x所属的等价类Ex，y所属的等价类Ey有 |Ex| = |Ey| 解：因为x和y在群G作用下属于同一等价类，所以x和y在群G作用下存在置换P1使x和y互相转变，即 Ex = Ey={x,y} 所以|Ex| = |Ey|。 4．11 有一个3х3的正方形棋盘,若用红,蓝色对这9个格进行染色,要求两个格着红色,其余染蓝色,问有多少种着色方案? 解: 对于一个3×3的正方形棋盘,要求两个格着红色,其余染蓝色,如下图所示. 置换群: 格式: (1),1个.(1)(2),4个.(1) (4),2个.(1)(2),1个 9 3324 p(x)=1/8×[(1+x)9+4(1+x)(1+x2)3+2(1+x)(1+x4)2+(1+x)(1+x2)4] x2的系数为 1/8×[C(9,2)+4(C(3,2)+C(3,1))+C(4,1)] =(36+24+4)/8=8 其中划横线为红色,其它为蓝色.共8种着色方案. 4.12：试用Burnside引理解决n个人围一圆桌坐下的方案问题。 解： 2341N1N-1NN-1……23……56……图一C1…45……图二 C2456321NN-1图N CN…………………………………… 23……N-1N-2N1图N! C N! 如图： N个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。一共N!个。 ……………6………………………… ……………………
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