层级二 专题六 第2讲 计数原理 二项式定理 (理)
限时40分钟 满分80分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2020·济宁模拟)从4台甲型装载机和5台乙型装载机中任意取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型装载机各一台，则不同的取法共有( )
A．84种 C．70种
B．80种 D．35种
V4FnteA9t0XLBmldsnkMfdRvK2IK3bmCWgfvtrlvMA0mVJCvgqpOFGqHcaCrwQ6hDlPk7PK01PZEcvz1pcuCMyWgQxjiPUZVtJIA。解析：C [根据题意可分为以下2种情况进行考虑：(1)甲型装载机2台和乙型装载机1台，取法有C4C5＝30种；(2)甲型装载机1台和乙型装载机2台，取法有C4C5＝40种．所以不同的取法共有30＋40＝70种．]
tD4ysfCta8s525bdJjXzM2ZerprVOYZqnPnifrt2XbKDUuGUw8FTRDAqEP73OGEc82IcISXiQVCBhlkXIwpGj5zJeWEqkpdgwxuS。2112
2．(2019·唐山二模)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是( ) A．18 C．12
B．16 D．9
解析：D [若把两个1看作不同的数，先安排0有3种情况，安排第2个数有3种情况，安排第3个数有2种情况，安排第4个数有1种情况，一共有3×3×2×1＝18种情况，由于有两个1，所以其中一半重复，故有9个四位数．]
5
33
65e3xNYpGO7MsLdG28mQkbDf6eQ0cc2SsuT0sPQEbqxKeI51JqxSuqsUsZXjXYctLekXRceciIFUES1n8OhMEao22ZytRxGde3ZZ。3．(全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)的展开式中xy的系数为( ) A．－80 C．40
5
B．－40 D．80
r5－r解析：C [由(2x－y)展开式的通项公式：Tr＋1＝C5(2x)
5
33
3
2
(－y)可得：
3
rEF3Z5O6QfEIPqUPmGeyRfX0dywwrkDU9joeG2D3QpZbAApIegXX4ccUGEQqzhEwCKzv1G9j2aHsfMqD8NhbmGQW7ux1ccuzKszP0。当r＝3时，x(2x－y)展开式中xy的系数为C5×2×(－1)＝－40当r＝2时，y(2x－y)展开式中xy的系数为C5×2×(－1)＝80，则xy的系数为80－40＝40.
33
5
33
2
3
2
DemRPksGfwIbmHIzXJum0qMNtaAOwHjNzlPAMJQtobHteStsVJikrOSdrynEKDaxdVC0S8NdT0XPIjzBH8TNoZlKtC8dlbIK19gj。rSVWV3ElhAQGeZWbfYYkPzZ9rIZsSMH4nBlmaKJWcVB8nBF2HFGNCK2SSMud4bsvSMjDEz0uf18TXRMP3XLc5UsCztuofvS0s6fA。- 1 -
本题选择C选项．]
4．(2020·合肥调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )
A．250个 C．48个
dpKuphpuwJ6QZIxtlTHGdT5QkFDS9tln1OZoxplZWHwPfSal76sHUTrkjUaJDwk2nJOaJ9WVxIJvngBruiL30Ds7nF4DfBmpntrv。B．249个 D．24个
3
解析：C [①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A4＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A4＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.]
ISKPtCvvMsNH2JsTer2Ru3QlUrEpp1wmOF1VM590hUJtLc1GtbTHvieE1oU1X66LVrTnIw78i2zzknAIpYVd8PQvrmTob73aOYxk。3
?1?n5．(2020·龙岩模拟)若?x－?的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含
?
x?
x2项的系数是( )
A．－462 C．792
1DUqwcJhxjaAQKkwlwhS6QUQ5qrTA7bsJjoqr9UUmW7GgGGosaxJwiwbI4l5KQGq7IQwlU5bBnw9IezoK3rpzsVrMdHnOP9wgHyy。B．462 D．－792
?1?n解析：D [∵?x－?的展开式中只有第7项的二项式系数最大，
?
x?
∴n为偶数，展开式共有13项，则n＝12.
RkW0r8LXVrUHZjEB8SWAQJjrIO790PjxEBXNAJzargCDTiDacmKEaK680uiD0BW67n2omR0pjM8z6GypbXWD5EnUuPM5rV9Pkwvw。?x－1?12的展开式的通项公式为T＝(－1)kCk·x12－2k，
令12－2k＝2，即k＝5.?x?k＋112
??
∴展开式中含x项的系数是(－1)C12＝－792.]
2
55
Xjxfz6bNreBRMT5uSjoo1Cn9FFCgLOFo0BL7cxuRTpSXrrnzHndfZ6blVozUtV2DycRa8YhkOxvCJqHdh3ynBqoTqqbOXAnXmfoe。?4－1?n*6．(2019·渭南二模)已知??(n∈N)展开式中所有项的系数的和为243，则该展开
x??
1
式中含2项的系数为( )
xaom7it1MEcy9XZvyVh9ZI54JQoczsYL0frD1zOjHHVA2q2Ee9rTJAOE4jCgThrjGqxTvluY7YriMu2jOKXp141qrMzHXxppfBUBT。A．20 C．640 解析：A [∵?4－
nB．－20 D．－640
?
?
1?n1??*n∴n＝5，故?4－??(n∈N)展开式中所有项的系数的和为3＝243，
x?x??
＝?4－
?
?
1?5
rr5－r?，它的展开式的通项公式为Tr＋1＝C5·(－1)·4·x－2.令－2＝－2，得r＝4，x?
rr14
∴展开式中含2项的系数为C5×4＝20.]
xFuxNmpGmwtMCYPjxSTY4DmVryW9VY2JjWTSPcaYVCnTRwzrsaT5WpvIjy6fqgKnuKtF4WulHU2sfs4UYuGL5WNTqbzg5UyFR0p63。7．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数是( )
A．135 C．189
3
Bm7HE7ubhYFn0LyOxSU2XcsJN6RLpUOvXc541CkiWfTRTS4gjAM3bEUpUoTygJMn99pOFuMUyC6HiBQU1BsP7KkiiGaDIM2dtwHJ。B．172 D．162
解析：C [由题意，不考虑特殊情况有C12种取法，其中每一种卡片各取3张有4种取法，
- 2 -
两张红色卡片共有C3C9种取法，故所求的取法种数为C12－4－C3C9＝189，选C.]
21321
iskVHD5YYMyCChxgEMx1W6DfgcVnjpNvF8YYHmRxoy1TCGUli2icJoEbO5EvHIEyZ3XujyzhVZDn5KCzhA5h6ALhtMaBIlPFTsTz。8．(2020·惠州二调)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )
DGYc9OJXY8dgEfZIFpzTttf71isUpaUxQpGdxbcQnxmauKUokaL2B3faqQbQlOxOdFpezMbudIvV75Cho4zfoRWNawMGZlvyZyWP。A．6 C．18
B．12 D．19
12
解析：D [在物理、政治、历史中选一科的选法有C3C3＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有C3C3＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.]
5
rV85JHQJIy0OguSaZUDbUIlndAkNXnmh3Ukduu9gnYLWmOYDFCBOYq4JzLS9n3MkcJLm9FGuLmNVXo0oCG7kMxiCPBDIC0TkcqJC。21
9．(2020·成都诊断)已知x(x＋3)＝a8(x＋1)＋a7(x＋1)＋…＋a1(x＋1)＋a0，则7a7
＋5a5＋3a3＋a1＝( )
A．－16 C．8
5
3
8
sC35WgiRkgQaUp7s6xYSPoxgJK4vwX281DwPKj5z42cLP2bKlSOm3P335MlbcMkmdH9hTiINsoONbLrGzkaD9G5bzsKXXTnhHPx7。387
B．－8 D．16
7
4
解析：B [对x(x＋3)＝a8(x＋1)＋a7(x＋1)＋…＋a1(x＋1)＋a0两边求导，得5x(x＋3)＋3x(x＋3)＝8a8(x＋1)＋7a7(x＋1)＋…＋a1，令x＝0，得0＝8a8＋7a7＋…＋a1，令x＝－2，得5×(－2)×(－2＋3)＋3×(－2)×(－2＋3)＝－8a8＋7a7＋…－2a2＋a1，两式左右分别相加，得－16＝2(7a7＋5a5＋3a3＋a1)，即7a7＋5a5＋3a3＋a1＝－8，选B.]
RtpC70pQvEGGwLmGh6W4hmQmzO1djzsf2kjdOXoghtJekZA9UYivRuhvD33jYcxVbqDbs9RjIFNNCB1zeRikgXox2NAKU5h5WN3T。35276
4352
10．(2020·郑州模拟)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( )
A．25种 C．90种
5O5aMiwzzsgT4euqUBUdwHrY0gocgkqXTN2ObFY79U0U95Z5dMvEOOgnn7avTkif2i0hbGefDM4CHwOUgjZuOL95xFq4vsdOBLRQ。B．60种 D．150种
解析：D [因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两C5C43
种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有2×A3＝90(种)分配方法；二，一个
A2单位3名，其他两个单位各1名，有C5×A3＝60(种)分配方法，共有90＋60＝150(种)分法，故选D.]
fB3Ms9Fck5K6SkT4kvHXIoP2Z9zuJO9pOrqZv9zkb6ZSvDKOgM0IYSdQM0MiAbswVlhqUTybWnLCoWwmoKdWOrqWezdvmgK0DsXa。12
33
?π?mm11．(2019·江西上饶三模)已知m＝?π3cos?x－?dx，则(x－2y＋3z)的展开式中含x2??
?0
－2
yz项的系数等于( )
A．180 C．－90
65MJjdJr9YAzXS612AtoL5i0SQlKo79h7ZITLpOaIsNeEOR2Tnrmdca1NMQtRZ22PjrX9cgCMjFjh3l3YjR1FM3UOH6ZykiJpLp。B．－180 D．15
π
π
EiHqTQZRelKrc34rrEGtlKvbRM6B34xoeRL01VIypoJDyfshiaPTuJ3TNwy7KnOaOmcli3pvW74W0RCCjOiSeDUvORdvnAO1AzPc。?x－π?dx＝?3sin xdx解析：B [由于m＝?3cos??0?0
2???
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