2014年高考文科数学试题全国新课标Ⅰ逐题详解
第Ⅰ卷
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
【2014年全国新课标Ⅰ（文01）】 已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ A． （﹣2，1） B． （﹣1，1） C． （1，3）
D． （﹣2，3）
【答案】：B
【解析】：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}
【2014年全国新课标Ⅰ（文02）】若tanα＞0，则（ ）
A． sinα＞0 B． cosα＞0 C． sin2α＞0 D． cos2α＞0
【答案】：C
【解析】∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0
【2014年全国新课标Ⅰ（文03）】设z=
+i，则|z|=（ ）
1
）
A．
B． C． D2 ． 【答案】：B 【解析】：z=
【2014年全国新课标Ⅰ（文04）】已知双曲线
﹣
=1（a＞0）的离心率为2，则a=（ ）
+i=
+i=
．故|z|=
=
．
A2 ．
【答案】：D 【解析】：双曲线
B． C． D1 ． 的离心率e==2，解答a=1
【2014年全国新课标Ⅰ（文05）】设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A． f（x）g（x）是偶函数 C． f（x）|g（x）|是奇函数
【答案】：C
【解析】：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．
B． |f（x）|g（x）是奇函数 D． |f（x）g（x）|是奇函数
2
再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，
可得 f（x）|g（x）|为奇函数，
【2014年全国新课标Ⅰ（文06）】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则 A．
【答案】：A
【解析】:D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴
+
=（
+
）+（
+
）=
+
=（
+
）=
B． C． D． +
=（ ）
【2014年全国新课标Ⅰ（文07）】在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A． ①②③ B． ①③④ C． ②④
D． ①③
3
【答案】：A
【解析】：函数①y=cos丨2x丨的最小正周期为
②y=丨cosx丨的最小正周期为 ③y=cos（2x+ ④y=tan（2x﹣
）的最小正周期为 ）的最小正周期为
=π， =π， =π，
【2014年全国新课标Ⅰ（文08）】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． 三棱锥 B． 三棱柱 C． 四棱锥 D． 四棱柱
【答案】：Ｂ
【解析】：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，可知几何体是三棱柱．
4
【2014年全国新课标Ⅰ（文09）】执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
A．
【答案】：D
【解析】：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；
第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3； 第三次循环M=+=
，a=，b=
，n=4．
B． C． D． 不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=
【2014年全国新课标Ⅰ（文10）】已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，x0=（ ） A． 1 【答案】：A
【解析】：由抛物线的定义，可得|AF|=x0+，∵|AF|=x0，∴x0+=x0，∴x0=1
B． 2
C． 4
D． 8
5
【2014年全国新课标Ⅰ（文11）】设x，y满足约束条件，且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）
A． ﹣5
【答案】：B
【解析1】：由约束条件
作可行域如图，
B． 3
C． ﹣5或3
D． 5或﹣3
联立，解得．∴A（）．
当a=0时A为（），z=x+ay的最小值为
，
，不满足题意；
当a＜0时，由z=x+ay得要使z最小，则直线当a＞0时，由z=x+ay得由图可知，当直线过点A时直线此时z=
在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；
，
在y轴上的截距最小，z最小．
，解得：a=3或a=﹣5（舍）
6
【2014年全国新课标Ⅰ（文12）】已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（ ）
A． （2，+∞） B． （1，+∞） C． （﹣∞，﹣2） 【答案】：C
【解析】：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=去；
当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax x f′（x） f（x） （﹣∞，0） 0 + 单调递增 0 极大值 ﹣ 单调递减 =0，解得x=0或x=＞0，列表如下：
0 极小值 + 单调递增 ，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍
D． （﹣∞，﹣1）
∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去． 当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax x f′（x） f（x） （﹣∞，） ﹣ 单调递减 0 极小值 + 单调递增 =0，解得x=0或x=＜0，列表如下：
0 0 极大值 （0，+∞） ﹣ 单调递减 而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0， ∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值
=
，化为a2＞4，∵
a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）
第Ⅱ卷
7
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
【2014年全国新课标Ⅰ（文13）】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 _________ ．
【答案】：
【解析】：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），
（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），
（语文，数学2，数学1）共6个，
其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），
（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=
．
【2014年全国新课标Ⅰ（文14）】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 【答案】：A
【解析】：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市
∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.
8
【2014年全国新课标Ⅰ（文15）】设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值
范围是 _________ ．
【答案】：x≤8
【解析】：x＜1时，ex﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，
综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．
【2014年全国新课标Ⅰ（文16）】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN= _________ m．
≤2，∴x≤8，∴1≤x≤8，
【答案】：150
【解析】：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=100，∴AC=△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，∴∠AMC=45°，由正弦定理可得
=100
．
，
9
即 （m）
，解得AM=100．Rt△AMN中，MN=AM?sin∠MAN=100×sin60°=150
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
【2014年全国新课标Ⅰ（文17）】已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{
}的前n项和．
解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列，
故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=， 故an=2+（n﹣2）×=n+1，
（2）设数列{
}的前n项和为Sn，
Sn=，①
Sn=，②
①﹣②得Sn==，
解得Sn=
=2﹣
10
【2014年全国新课标Ⅰ（文18）】(本小题满分12分)从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125） （1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
解：（1）频率分布直方图如图所示：
11
（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100， 质量指标的样本的方差为S2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104， 这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定
【2014年全国新课标Ⅰ（文19）】(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C． （1）证明：B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．
12
（1）证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，∵侧面BB1C1C为菱形，
∴BC1⊥B1C，∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵AO∩BC1=O，∴B1C⊥平面ABO， ∵AB?平面ABO，∴B1C⊥AB；
（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，
∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD=D，∴OH⊥平面ABC，∵∠CBB1=60°， ∴△CBB1为等边三角形，∵BC=1，∴OD=由OH?AD=OD?OA，可得AD=
，∵AC⊥AB1，∴OA=B1C=， =
，∴OH=
，
∵O为B1C的中点，∴B1到平面ABC的距离为
，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高
【2014年全国新课标Ⅰ（文20）】 (本小题满分12分) 已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． （1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
13
解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则由题意可得：
，
．
．即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．
整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．由于点P在圆C内部， ∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，
为半径的圆，
由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM． ∵kON=3，∴直线l的斜率为﹣．∴直线PM的方程为则O到直线l的距离为
．又N到l的距离为
，即x+3y﹣8=0．
，
∴|PM|=
=．∴．
【2014年全国新课标Ⅰ（文21）】 (本小题满分12分)设函数f（x）=alnx+y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， （1）求b；
（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜解：（1）f′（x）=
，求a的取值范围．
x2﹣bx（a≠1），曲线
（x＞0），∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．
14
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+
∴①当a
时，则
=
，则当x＞1时，f′（x）＞0，
．
，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增， ∴存在x0≥1，使得f（x0）＜解得 ②当
a＜1时，则
，
时，f′（x）＜0，函数f（x）在时，f′（x）＞0，函数f（x）在
的充要条件是
，
上单调递减； 上单调递增．
；
的充要条件是
，即
，
则当x∈当x∈
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜
而=+，不符合题意，应舍去． ，成立．
．
③若a＞1时，f（1）=综上可得：a的取值范围是
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 【2014年全国新课标Ⅰ（文22）】（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E；
15
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，ADE为等边三角形.
证明：△
N【解析】：.(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以?D=?CBE，由已知得，?CBE=?E ,
所以?D=?E
……………5分
,知MN⊥BC
所以O在MN上，又AD不
（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC是O的直径，M为AD
中点，故OM⊥AD， 即MN⊥AD，所以AD//BC,故?A=?CBE，
由(Ⅰ)（1）知?D=?E， 所以△ADE为等边三角
又?CBE=?E，故?A=?E形． ……………10分
【2014年全国新课标Ⅰ（文23）】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
?x?2?tx2y2??1，直线l：?已知曲线C：（t为参数）. 49y?2?2t?(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.
o【解析】：.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为：??x?2cos? （?为参数），
y?3sin??直线l的普通方程为：2x?y?6?0 ………5分
（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos?,3sin?)到l的距离为
16
d?54cos??3sin??6， 5则|PA|?d25?5sin??????6sin3005?为锐角．且tan??225； 54. 3当sin???????1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin??????1时，|PA|取得最小值，最小值为
25. …………10分 5【2014年全国新课标Ⅰ（文24）】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若a?0,b?0，且
3311??ab. ab(Ⅰ) 求a?b的最小值；
（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明文由.
【解析】：(Ⅰ) 由ab?112??，得ab?2，且当a?b?2时等号成立， abab
故a3?b3?3a3b3?42，且当a?b?332时等号成立，
∴a?b的最小值为42. ……5分
（Ⅱ）由6?2a?3b?26ab，得ab?3，又由(Ⅰ)知ab?2，二者矛盾， 2所以不存在a,b，使得2a?3b?6成立. ……………10分
17
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