不等式常见考试题型总结 

《不等式》常见考试题型总结

一、高考与不等式

高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以

及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查：

①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；

②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；

③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．

二、常见考试题型

（1）求解不等式解集的题型

（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法） （2）不等式的恒成立问题

（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法） （3）不等式大小比较

常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。

（4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知x?5，求函数y?4x?2?1的最大值。 44x?5技巧二：凑系数

例. 当时，求y?x(8?2x)的最大值。

技巧三： 分离

x2?7x?10(x??1)的值域。 例. 求y?x?1

1

技巧四：换元

x2?7x?10(x??1)的值域。 例. 求y?x?1技巧五：函数的单调性

（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)?x?例：求函数y?a的单调性。） xx2?5x?42的值域。

技巧六：整体代换

（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。） 例：（1）已知x?0,y?0，且

?19??1，求x?y的最小值。 xy（2）若x,y?R且2x?y?1，求1?1的最小值

xy?(3)已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?xyy的最小值

技巧七、利用sin??cos??1转换式子

y 2

技巧八、已知x，y为正实数，且x＋ ＝1，求x1＋y 2 的最大值.

2

2

22a 2＋b 2

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ 。

21

同时还应化简1＋y 中y前面的系数为 ， x1＋y 2 ＝x

2

22

1＋y 22· ＝2 x·21y 2 ＋ 22

下面将x，1y 2 ＋ 分别看成两个因式： 22

2

2

1y 221 2y ＋ )x＋ ＋ 22223

＝ ＝ 即x1＋y 2 ＝2 ·x

224

x·

x＋(

1y 2 ＋ ≤22

1y 23

＋ ≤ 2 224

1

技巧九：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ab 的最小值. 这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，

一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解 二是直接用基本不等式。

例：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧十：取平方

例、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值. （5）证明不等式

常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。

2

基本不等式—最值求法的题型

基础题型一：指数类最值的求法 1. 已知a?b?3，求3a?3b的最小值。 变式1.已知a?2b?3，求3a?9b的最小值。

变式2.已知x?y?2，求3x?13y的最小值。 变式3.已知x?2y??3，求2x?14y的最小值。

变式4.已知点(x,y)在直线y?12x?1上，求3x?19y的最小值。

基础题型二：对数类最值的求法

2. 已知x?0,y?0，且2x?y?4，求log2x?log2y的最大值。 变式1.已知x?0,y?0，且x?2y?4，求log1x?log13y的最小值。

22变式2.已知点(x,y)是圆x2?y2?6在第一象限内的任一点，求log3x?log3y的最大值。

能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）

1. 已知x?2,求f(x)?x?1?1x?2的最小值。

变式1.已知x?3,求f(x)?2x?3?4x?2的最小值。

变式2.已知x?1,求f(x)?2x?4x?1的最大值。

能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）

1. 已知x?0,y?0,且x?2y?1，求21x?y的最小值。

2. 变式1.已知x?0,y?0,且2x?y?3，求23x?y的最小值。

变式2.已知x?0,y?0,且x?3y??2，求12x?y的最大值。

能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数） 1. 已知x?0,y?0,且2x2?y2?1，求x1?2y2的最大值。 变式1.已知x?0,y?0,且x2?2y2?3，求2x1?y2的最大值。 变式2.已知a?0,b?0,且a2?b2?3，求?a1?2b2的最小值。

3

能力题型四：对勾函数及其应用

11【对勾函数】y?x?，由x?得顶点的横坐标为x??1。

xxbbb。 y?ax?,由ax?得顶点的横坐标为x??axxy?ax?bbbb得顶点的横坐标为x?1?。 ?a(x?1)??a,由a(x?1)?ax?1x?1x?12例1.求y?x? (x?[1,4])的值域。

x2变式1.求y?x? (x?[?2,?1])的值域。

x2变式2.求y?3x? (x?[2,4])的值域。

x4例2.求y?x? (x?2)的值域。

x?1

1变式1.求y?2x? (x?3)的值域。

x?2

2变式2.求y?x? (x??2)的值域。

x?1

4?例3.求y?sinx? (0?x?)的值域。

sinx2

4变式1.求y?sinx? (0?x??)的值域。

sinx?1

2变式2.求y?cosx? (0?x??)的值域。

cosx?1

基本不等式例题

例1. 已知, 且，求的最小值及相应的值.

例2. 的最小值为________。

例3．已知（ ） 例4．函数

，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是

的图象恒过定点，若点在直线上，则

4

的最小值为_________．

例5. 若，则的最小值是（ ）

例6．下列各函数中，最小值为2的是( )

A

B. C. D.

例7（1）已知x?51，求函数y?4x?2?的最大值. 44x?52422（2）求函数y?x?2的最小值求y?4?x?2的最大值.

x?1x?2

练习. 设例8.已知

，则,

，且

的最大值为

. 求

的最大值及相应的

的值

例9若x，y是正数，则(x?121)?(y?)2的最小值是 2y2x2

2

练习：已知实数x，y满足x+y－1=0，则x+y的最小值

例10.若实数a、b满足a+b=2，是3a+3b的最小值是

基本不等式证明

例 已知a，b为正数，求证：

ab?ba≥a?b．

例

实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为8m，问x y分别为多少时用料最省？

2

5