导数-----单调性的分类讨论

导数-----单调性的分类讨论方法总结

函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。

以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:

第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况 （1）偶次根式，根号下整体大于0 （2）分式，分母不等于0 （3）对数函数，真数大于0 （4）tan()，（）整体不等于?

第二步：求函数导数，令f(x),?0，解出它的根x1,x2

注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负

第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。

（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围 （2）x1?x2，得到参数取值范围 （3）x1?x2，得到参数取值范围 （4）x1?x2得到参数取值范围

第四步：判断x1,x2把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。判断导数正负有以下三种方法：

（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多 （2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子 （3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负

第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的

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【例题详解】

例1.（2011，浙江高考改编）设函数f(x)?a2lnx?x2?ax，求f(x)单调区间

（0，??）解：该函数定义域为（第一步：对数真数大于0求定义域）

aa2?(x?a)(2x?a)?2x?a??0，解得x1?a,x2?? 令f(x)?2xx'（第二步，令导数等于0，解出两根x1,x2） （1）当a?0时，

x?(0,a),f(x)'?0,f(x)单调增，x?(a,??),f(x)'?0,f(x)单调减

（第三步，x1存在，x2不存在得到a?0；第四步数轴穿根或图像判断正负） （2）当a?0时，x1不存在

aax?(0,-),f(x)'?0,f(x)单调增，x?(-,??),f(x)'?0,f(x)单调减

22（第三步，x2存在，x1不存在得到a?0第四步数轴穿根或图像判断正负）

（3）当a?0时，

x?(0,??),f(x)'??2x?0,f(x)单调减

（第三步，x1?x2得到a?0第四步很显然-2x<0恒成立）

综上可知：当a?0时x?(0,a),f(x)单调增，x?(a,??),f(x) 单调减;当a?0aax?(0,-),f(x)时,单调增，x?(-,??),f(x)单调减；当a?0时，x?(0,??),f(x)22单调减

（第五步综述一定要有）

小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。讨论一根不存在的时候，又分了两种情况，x2不存在或者x1不存在。因为本题一根存在，另一根就必然不存在，故不存在比较两根大小的情况。因式分解后我们发现最高次为负，数轴穿根的时候我们从下往上穿，也可以用图像法判断导数正负。

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例2：已知f(x)?(ax?x)lnx?212ax?x，求f(x)单调区间 21,x2?1 2a（0，??）解：该函数定义域为（第一步：对数真数大于0求定义域）

令f(x)'?（2ax?1）lnx，解得x1?（第二步，令导数等于0，解出两根x1,x2） （1）当a?0时，

x?(0,1),f(x)'?0,f(x)单调增，x?(1,??),f(x)'?0,f(x)单调减

（第三步，x1不存在得到a?0；第四步数轴穿根或图像判断正负） （2）当

11?1时即a? 2a2x?(0,??),f(x)'?0,f(x)单调增，

（第三步，x1?x2得到a?

（3）当0?1第四步图像判断正负） 211?1时，即a? 2a211),x?(1,??)f(x)'?0,f(x)单调增，x?[,1],f(x)'?0,f(x)单调减 2a2a1（第三步，x1?x2得到a?；第四步图像判断正负）

211?1时，即0?a? （4）当2a211x?(0,1),x?(,??)f(x)'?0,f(x)单调增，x?[1,],f(x)'?0,f(x)单调减

2a2a1（第三步，x1?x2得到0?a?；第四步图像判断正负）

2x?(0,综上可知：

a?0，x?(0,1),f(x)'?0,f(x)单调增，x?(1,??),f(x)'?0,f(x)单调减；

1'，x?(0,??),f(x)?0,f(x)单调增 2111a?x?(0,),x?(1,??)f(x)'?0,f(x)单调增，x?[,1],f(x)'?0,f(x)单调减

22a2a1110?a?，x?(0,1),x?(,??)f(x)'?0,f(x)单调增，x?[1,],f(x)'?0,f(x)

22a2aa?单调减

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小结：这是一道稍微复杂的分类讨论单调性，按照我们的步奏，每一步都清晰明朗，这道题4种情况全部都讨论到。讨论一根不存在的时候，只要

1?0就不在定义域内了。 2a（2ax?1）特别注意判断正负时我们用图像法，画出和lnx的图像，判断它们乘积的正负就

很简单了。

例3（2016，北京理）已知f(x)?xe2?x?ex ，求f(x)单调区间

解：f(x)'?e2?x?xe2?x?e（明显一阶导不能解出根或者判断出正负，必须要求二阶导） 令f(x)''?(x?2)e2?x?0 ，得到x=2（令二阶导为0，解出二阶导的根）

x?(-?,2)f(x)'?0,f(x)单调减，x?(2,-?)f(x)'?0,f(x)单调增

(判断一阶导单调性）

所以f(x)'min?f(2)'?e?1?0(求出一阶导的最值） 所以f(x)在R上单调增

小结：这道题我们求了一阶导后发现解不了这个方程，那么我们就应该转换思路求它的二阶导数，通过二阶导的正负得到一阶导的单调性，从而得到一阶导的最小值，进而得到一阶导的正负，判断出原函数的单调性。这属于第三步中求不出来根也判断不了正负的情况。

x例4已知函数f(x)?a?xlna，其中a?0且a?1。 讨论f(x)的单调性；

'xx解：令f(x)?alna?lna?lna(a?1)?0，解得x?0

（1）当0?a?1时，lna?0

x?(0,??),f(x)'?0,f(x)单调增，x?(-?,0],f(x)'?0,f(x)单调减

（2）当a?1时,lna?0

x?(0,??),f(x)'?0,f(x)单调增，x?(-?,0],f(x)'?0,f(x)单调减

综上可知：x?(0,??),f(x)?0,f(x)单调增，x?(-?,0],f(x)?0,f(x)单调减 小结：这道题导数等于0只有一个根，所以只需要讨论根的两侧导数正负。判断正负的时候，我们发现含有参数a,a的不同取值范围导致各因式正负不一样，所以需要讨论。这跟我们总结的步骤有些不一样，当作特例记住。

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