2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析

梦想不会辜负每一个努力的人 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析

一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合

题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1) 下列反常积分收敛的是 ( ) (A)

???21dx (B) x???2lnx (C)

dxx???21(D) dxxlnx

??2???2x dxex【答案】(D) 【解析】???xx?x?x，则dx??(x?1)edx??(x?1)exx?2ee2?3e?2?lim(x?1)e?x?3e?2.

x???sintxt) 在(??,??)内( ) (2) 函数f?x??lim(1?xt?0(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)

sintxlimsintxtt?0xt)?e?ex，x?0，故f(x)有可去间断点x?0. 【解析】f(x)?lim(1?t?0x221??xcos,x?0??x(??0,??0),若f'?x?在x?0处连续则:( ) (3) 设函数f?x?????0,x?0(A)????0 (B)0?????1 (C)????2 (D)0?????2 【答案】(A)

【解析】x?0时，f??x??0f???0??0

f???0??lim?x?0x?cos1?0?1??1x ?limxcos??x?0xxx?0时，f??x???x??1cos??x??1cos111???1xsin???????1 ???xxx11????1??xsin x?x?梦想不会辜负每一个努力的人 ??1xcosf??x?在x?0处连续则：f???0??f???0??lim?x?01?0得??1?0 ?x11????1????1?f??0??limfx=lim?xcos??xsin=0 ??x?0+????x?0+xx??得：????1?0，答案选择A

(4)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线

y?f(x)的拐点的个数为( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)

【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数

为2个.

22(5) 设函数f?u,v?满足f?x?y,??x?y ，则

x???y??f?u(A)

u?1与v?1?f?vu?1v?1 依次是 ( )

1111,0 (B) 0, (C) ?,0 (D) 0,? 2222【答案】(D)

【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令u?x?y,v?yuuvy，则x?，从而f(x?y,)?x2?y2变为 ,y?x1?v1?vx222?f2u(1?v)?f2u2?u??uv?u(1?v)?,??.故， f(u,v)???????2?u1?v?v(1?v)1?v1?v1?v????因而

?f?uu?1?0,v?1?f?v1.故选（D）. ??u?12v?13x围成的平面区域，函

(6)设D是第一象限由曲线2xy?1，4xy?1与直线y?x，y?数f?x,y?在D上连续，则

??f?x,y?dxdy? ( )

D?(A)

??d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr

梦想不会辜负每一个努力的人 ?(B)

??d??341sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??dr

?(C)

??d??34?(D)

??d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr

【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为

???11D??(r,?)???,?r?432sin2?sin2??所以

??? ???Df(x,y)dxdy???3d??41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr

故选B.

?1??111?????(7) 设矩阵A??12a?,b??d?.若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷多

???14a2??d2?????解的充分必要条件为 ( )

(A) a??,d?? (B) a??,d?? (C) a??,d?? (D) a??,d?? 【答案】(D)

?111?【解析】(A,b)??12a?14a2?1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)??，

由r(A)?r(A,b)?3，故a?1或a?2，同时d?1或d?2.故选（D）

222(8) 设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换x?Py下的标准形为2y1，其中?y2?y3P?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)则f?(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准形

为( )

222222(A)2y1 (B) 2y1 ?y2?y3?y2?y3