第10讲 与计数原理 相关的概率问题
满分晋级
概率与统计8级 排列与组合
概率与统计7级 强化训练
与计数原理相关的
概率问题
概率与统计6级
概率与统计 考点归纳
新课标剖析
当前形势
内容
计数原理在近五年北京卷(理) 考查5分
要求层次 A
B √
C
具体要求
高考 要求
加法原理、乘法原理
分类加法计数原理、 分步乘法计数原理 用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决一些简单的实际
问题
√
理解加法原理与乘法原理，并会运用它们分析和解决一些简单的实际问题 会用两个原理计算一些简单的随机事件的概率．
北京 高考 解读
2010年（新课标）
第4题5分
2011年（新课标） 第12题5分
2012年（新课标）
第6题5分
2013年（新课标） 第12题5分
知识切片
10.1加法原理与乘法原理
知识点睛
1．分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有
N?m1?m2??mn种不同的方法．又称加法原理．
例：某大学食堂分四种风味的窗口，陕西风味窗口有8种选择，山西风味窗口有4种选择，四川风味窗口有6种选择，广州风味窗口有12种选择，从中任选一种，有_____种不同的方法．
【解析】 8?4?6?12?30．
2．分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有
N?m1?m2??mn种不同的方法．又称乘法原理．
<教师备案> 汽车牌照一般从26个英文字母、10个阿拉伯字母中选出若干个，并按照适当的顺序排列
而成．
目前使用的九二式机动车牌由地区简称的中文与发牌机关代码的英文字母，以及五位码组成．
比如“苏A-12345”，“苏”代表江苏省，A是南京市公安局车辆管理所发牌代码，代表此车是由南京市公安局车辆管理所发牌．后面五位数是序．原则上，五位序会从00000（某些地区从00001开始，以下不特别说明）开始按数字顺序发牌直到99999，这样的牌照共有10万个．超过这个数字就采用英文字母为字首，从A0000开始排到A9999，再接着B0000到B9999，以此类推到Z9999．如果这24万个码再满的话（为了避免与数字混淆，某些字母不能用，可能用的字母通常有24个）．
接下来有两种方式接着编，其一是把英文字母放在第二位，从0A000排列到0A999，再接着1A000到1A999，一次类推到9Z999．第二种是前两位都使用英文字母，从AA000到AA999，再到AB000-AB999，以此类推到AZ999后开始BA000-BA999、BB000-BB999，一路延伸到ZZ999，如果这样数字还满了的话，接着就采用英文字母放在第三位的了，如杭州市，从00A00排列到99Z99．再往下？英文放第四位、第五位了，不是开玩笑，广东有些地区的摩托车牌已经这么排了．（当然这只是一般规律，很多地方是不用这个顺序的．）
下面我们用一个简化的北京的车牌来作一些计算：
原来的车牌一般都是：地区简称+地区代码+5位车，如京A12345．
一般来说第二位的字母是有一定意义的，如京B是出租车，京O是公安部的车；京Y是郊区户籍车，说V是中央直属部车．京Z一般没用过，为了简单起见，假设第二位可用的字母有十个．后五位中的字母可用的有24个．
1．请问北京汽车保有量超过多少时，就再也没有车牌用了？ 答案：10万．
2．如果后五位车的第一位可以是数字或字母，可能有多少不同的车牌？ 答案：分两类：第一位为数字，第一位为字母：10?24?25万．
3．如果后五位车的任意一位都可以是数字或字母，但后一位中只含一个字母，有多少种不同的车牌？
答案：分两类：五位都为数字，第一、二、三、四、五位为字母：10?24?5?130万． 4．在2009年时，北京汽车后五位由只含一个字母变成了可以含有两个字母，有多少种不同的车牌？
答案：第一位为数字：10万；有一个字母：120万；有两个字母：
选定两个位置有十种方法，选定后共有24?24?10?10?10种，共有576万； 从而共有706万．
北京现在的汽车保有量已经突破520万，车牌后五位的字母与数字的要求更加宽松．
经典精讲
<教师备案> 加法原理与乘法原理是计数原理中最基本的原理，很好地理解与应用这两个定理可以解决
很多计数的问题．加法原理的主要思想是分类，乘法原理的主要思想是分步．分类是指每一种方法都可以独立完成一个事件，分步是把一件事情每一步都必须执行，相互之间不可替代，当一个问题不能划分成清晰的步骤时，可以需要根据情况先进行分类，再就分类情况进行分步．
【例1】
从A地到B地有3趟对开飞机，8趟对开列车． ⑴从A地到B地有多少种不同的方式？ ⑵从A地到B地，再从B地回到A地，
①如果先坐列车，后坐飞机，有多少种不同的方式？ ②如果不限制出行工具的选择，有多少种不同的方式？ ③如果最多坐一趟飞机，有多少种不同的方式？
【解析】
⑴3?8?11；
⑵①8?3?24；②11?11?121；③8?8?3?8?8?3?112．
【备选】⑴若a、b是正整数，且a?b≤6，则以(a，b)为坐标的点共有多少个？
⑵若x、y是整数，且x≤6，y≤7，则以(x，y)为坐标的不同的点共有多少个？
【解析】 ⑴
坐标共有：15个． ⑵
共有：195个．
【铺垫】用1，2，3，4，5这5个数字，
⑴可以组成______________个数字允许重复的四位数． ⑵可以组成______________个数字不重复的四位数． ⑶可以组成______________个数字不重复的四位偶数．
【追问】⑷可以组成________个大于1300的数字不重复的四位数．
⑸可以组成________个小于2200的数字不重复的四位数．
【解析】 ⑴
625个. ⑵
120个. ⑶
48个． 【追问】 ⑷共有114个． ⑸共有30个．
【例2】
用0，1，2，3，4，5这6个数字，
⑴可以组成______________个数字允许重复的三位数． ⑵可以组成______________个数字不允许重复的三位数． ⑶可以组成______________个数字不允许重复的三位奇数．
⑷可以组成______________个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数． 【追问】⑸能被5整除的数字不允许重复的三位数有____个；
⑹能被3整除的数字不允许重复的三位数有_____个．
【解析】 ⑴
180个． ⑵100个． ⑶48个．
⑷
共有175（个）． 【追问】⑸36；⑹40．
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