平面向量
第一课时 平面向量的概念
【重要知识】
知识点一：向量的概念
既有大小又有方向的量叫向量。
注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 知识点二：向量的表示法 ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB；
④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.
知识点三：有向线段
（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. （2）向量与有向线段的区别：
①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
知识点四：两个特殊的向量
rr（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. r注意0与0的含义与书写区别.
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 知识点五：平行向量、共线向量
（1） 定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
r（2） 规定：规定0与任一向量平行.
（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;
rrrrrr②向量a,b,c平行，记作a∥ b∥c
③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 知识点六：相等向量
1
既然选择了远方，便只顾风雨兼程。
（1） 定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
rrrr（2）向量a与b相等，记作a?b；
（3）零向量与零向量相等；
（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
【典型例题】
1．下列命题正确的是 （ ） A．向量AB与BA B．若a、bra?r都是单位向量,则b
C．若AB=DC,则A、B、C、D
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
2．若a、b都是单位向量，则|a?b|的取值范围是 （
A．（1，2） B．（0，2）
C．［1，2］ D．［0，2］
uuruuuruuuruuur3.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则FA?AB?2BO?ED等于（ ）
uuruuuruuuruuurA．FE B. AC CDC DFC
ABrr4. 如图，在△ABC中，= a, BC= b ，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求：向量AG．
A a ·
B
b D
C
G
5．已知△ABC及一点O，求证：O为△ABC的重心的 充要条件是OA?OB?OC?O.
2
既然选择了远方，便只顾风雨兼程。
）
uurruuurruuurruuururrrrur6.设平面内有四边形ABCD和O点，OA?a,OB?b,OC?c,OD?d，若a?c?b?d，
则四边形ABCD的形状为 。
【同步练习】
1．在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则
四边形ABCD为（ ） A.平行四边形 B.矩形
C.梯形
D.菱形
2.已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于（ ） A.λ(AB+AD),λ∈(0,1)
B.λ(AB+BC),λ∈(0,
C.λ(AB－AD),λ∈(0,1)
uuur1uuur3.已知两点M?3,2?，N??5,?5? MP?MN，则P点坐标是 （ ）
22) 22D.λ(AB?BC),λ∈(0,)
24.已知△ABC中，BC?a,CA?b,AB?c，若a?b?b?c?c?a，求证：△ABC为正三角
形.
5.已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证
OA?OB?OC?OD?4OE.
3
既然选择了远方，便只顾风雨兼程。
第二课时 平面向量的线性运算
【重要知识】
知识点一：向量的加法
rrrra,b（1）定义已知非零向量，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量ACrrrrrr叫做a与b的和，记作a?b，即a?b＝AB＋BC＝AC．
求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.
②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则
uuurr以点O为起点作向量OA?a ，OB?b，以OA,OB为
uuur邻边作YOACB，则以O为起点的对角线所在向量OC就
rrrruuur是a,b的和，记作a?b=OC。
说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
rrrrrra?0?0?a?a ③对于零向量与任一向量a，（3）特殊位置关系的两向量的和
①当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|； ②当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，
③当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.
（4）向量加法的运算律
①向量加法的交换律：a+b=b+a
②向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 知识点二：向量的减法
4
既然选择了远方，便只顾风雨兼程。
rr（1）相反向量：与a长度相同、方向相反的向量.记作 ?a。 rrr（2）①向量a和-a互为相反向量，即 –(-a).
②零向量的相反向量仍是零向量．
rrrrr③任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a＋(-a)＝(-a)＋a＝0．
rrrrrrrrr④如果向量a,b互为相反向量，那么a＝-b，b＝-a，a＋b＝0． rrrr（3）向量减法的定义：向量 a加上的 b相反向量，叫做 a与b的差. rrrr 即： a? b= a+ (? b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
（4）向量减法的几何作法
uurruuurruurrrrr在平面内任取一点O，作OA?a,OB?b，则BA?a?b．即a?b可以表示为从向量
rrb的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．
rr说明：①AB表示a?b.强调：差向量“箭头”指向被减数
rrrr ②用“相反向量”定义法作差向量，a? b= a+ (? b)， 显然，此法作图
较繁，但最后作图可统一. 知识点三：向量数乘的定义
r（1）定义：一般地，我们规定实数?与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，
r记作?a，它的长度与方向规定如下：
rr⑴|λa|＝|λ||a|
rrrr⑵当??0时，λa的方向与a的方向相同；当??0时，λa的方向与a的方向相反．
rr当??0时，λa＝0
（2） 向量数乘的运算律
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律： 设?、?为实数，那么
rr⑴λ(μa)＝(λμ)a； rr⑵(λ＋μ)a＝λa＋rμa； rrr⑶λ(a＋b)＝λa＋rλb．
知识点四：向量共线的条件
5
既然选择了远方，便只顾风雨兼程。
相关推荐：
loading