第七章自测题一
一、判断题
???????????１．若a?0，且a?b?a?c或a?b?a?c，则b?c。 （ ）
2．与ox,oy,oz三个坐标轴之正向有相等夹角的向量，其方向角必为3．平面
???,,。 （ ） 333zyz???1与6x+4y+3z+12=0平行。 ( ） 234???????4．向量a(a?c)?b(a?c)与c恒垂直。 （ ）
5．直线L：
x?1y?3z?2??是平面4x+3y-z+3=0上的直线。 （ ） 2?15?xzx2y2z2???06．直线?ac不在曲面2?2?2?1上。 （ ）
abc??y?b227．位于xoy坐标面之上的球面x2?y2?z2?4与锥面z??3(x?y)的交线为
222?x?y?z?4? ( ) ?22??z??3(x?y)二、选择题
1．下列命题，正确的是 。
????（A）、i?j?k是单位向量。 （B）、?j非单位向量
2????（C）、a?a （D）、a(a?b)?a?b
222．若直线
x?1y?1z?1x?1y?1????z相交，则?= 。 和直线12?11（A）、1 （B）、3/2 （C）、-5/4 （D、5/4
222??2x?y?z?163．母线平行于x轴且通过曲线?2的柱面方程是 。 22??x?y?z?0 （A）、 x2 +2y = 16 (B)、3y2 - z2 = 16
(C)、3x2 + 2z2 = 16 (D)、-y2 + 3z2 = 16
x2y2z2???0的旋转轴是 。 4.旋转曲面223（A）、oz轴； （B）、oy轴； (C)、ox轴； (D)、直线x = y = z
5.两平面A1x+B1y+C1z+D1=0与A2x+B2y+C2z+D2=0重合的充分必要条件是 。 （A）、
A1B1C1； （B）、A1=A2，B1=B2，C1=C2； ??A2B2C2D （C）、A1?B1?C1=1； （D）、A1=A2，B1=B2，C1=C2；D1=D2。
A2B2C2D2??6．设D?AB?BC?CA（其中AB，则D= 。 、BC、CA 均为非零向量）
（A）、向量0 （B）、常数0； （C）、
AB?BC?CA； （D）、AB?BC?CA
222a??7.向量a在b上的投影Prjb= ????????aba?baba?b （A）、? （B）、? （C）、? （D）、?
aabb8. 旋转曲面x2-y2-z2＝１是由 。
（Ａ）、ＸＯＺ坐标面上的双曲线x2-z2=1绕ＯＸ轴旋转而成的。 （Ｂ）、ＸＯＹ坐标面上的双曲线x2-y2＝１绕ＯＺ轴旋转而成的。
２
（Ｃ）、ＸＯＹ坐标面上的椭圆x2+y＝１绕ＯＺ轴旋转而成的。
２
（Ｄ）、ＸＯＺ坐标面上的椭圆x2+y＝１绕ＯＸ轴旋转而成的。 9．曲线
{(x?1)?y?(z?1)?4z?0222的参数方程是 。
?x?3cos??x?1?3cos??x?2cos??x?1?2cos???（Ａ）? (B)?y?2sin? （C）? (D）??y?2sin? y?3sin??y?3sin????z?0?z?0?z?0?z?0??????三、填空题
1．已知a与b垂直，且a=5，b=12，则a?b? ，a?b= 。 １．一向量与ox轴和oy 轴成等角，而与oz 轴组成的角是它们的二倍，那么这个向量 的方向角?? ，?? ，?? 。
???????????????????3．(a?b?c)?c?(a?b?c)?b?(b?c)?a= 。
4．若两平面kx + y + z - k = 0与kx + y - 2z = 0互相垂直，则k = .
5．通过两点（1，1，1）和（2，2，2）且与平面x + y - z = 0垂直的平面方程是 。 6．已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点（-2，-2，1），则该平面方程为 。 7．设平面?：x + ky - 2z - 9 = 0,若?过点（5，-4，-6）则k= ；又若?与平面 2x - 3y + z = 0成45o，则k= . 8.一平面过点（6，-10，1），它在ox轴上的截距为-3，在oz轴上的截距为2，则该平面 的方程是 。 9．若直线
x?3y?1z?3x?1z?2???y?5?与垂直，则k= . 2kk?153k?210．已知A（2，3，1），B（-5，4，1，），C（6，2，-3），D（5，-2，1，），则通过点A且
垂直于B、C、D所确定的平面的直线方程是 。
11．点（-1，2，0）在平面x + 2y - z = 0上的投影点的坐标为 。 12．已知球面的一条直径的两个端点为（2，-3，5）和（4，1，-3），则该球面方程是 。 13．直线L在YOZ坐标面上的投影曲线为??2y?3z?1，在XOZ坐标面上的投影曲线为
?z?0?x?y?2，则L在XOY坐标面上的投影曲线方程必为 。 ?y?0?14．若动点到平面x + y - z - 1=0的距离为d1，到平面 x + y + z + 1 = 0的距离d2，且满 足d1?d2?1,那么此动点的轨迹方程为 。
222??x?y?4z?115．母线平行于oz轴且通过曲线?2的柱面方程是 。 22??x?y?z2216．两曲面z?x与y = 0的交线绕0x轴和oz轴旋转一周而成的旋转曲面的方程分别
p?0的距离之比为1，则该 2 为 和 。
17．动点M（x,y,z）到定点F（0，p/2,0）和定平面?：y? 动点的轨迹方程为 。它在空间中表示 曲面。 18．与xoy坐标面成45o角，且过点（1，0，0）的所有直线所形成的曲面方程为 。 四、设单位向量a,b,c满足a?b?c?0，试证：
（1） a?b?b?c?c?a??3 23a?b 2（１） (a?b)(a?b)?(b?c)(b?c)?(c?a)(c?a)??五、求点A（1，2，-4）的关于
1) 平面3x - y - 2z = 0的对称点。 2) 关于直线x = y/2 = z 的对称点。
六、求半径为3，且与平面x + 2y + 2z + 3 = 0相切点A（1，1，-3）的球面方程。 七、设直线L:x?1y?12z?9??，平面?:x?3y?5z?2?0，求 1331） 直线与平面的交点坐标；
2） 直线与平面的夹角；
3） 直线在平面上的投影直线方程。
第七章自测题二
一、判断题
1. (a?b)?ab ( ) 2. (a?b)?(a?b)?a?b ( )
2222222?3.若a?b?0,a?c?0那么b?c?0 （ ）
４．直线
xyz??与平面3x - 2y + 7z = 8平行。 （ ） 3?27５．点Ｃ（１，３，－２）是球面x2 + y2 + z2 - 2x - 6y + 4z = 0的球心。（ ）
x2y2?６．平面z＝１截曲面z?所得截口曲面为一椭圆。 （ ） 49二、选择题
１．已知二向量a?{0,3,4},b?{2,1,?2},则Prjb＝ 。
（Ａ）、５ （Ｂ）、－１／３ （Ｃ）、－５／３ （Ｄ）、１／３
2.在平行四边形ＡＢＣＤ中，三顶点ＡＢＣ的坐标分别为Ａ（０，－２，０）、 Ｂ（２，０，１）和Ｃ（０，４，２），那么Ｂ的对称点Ｄ的坐标为 。 （Ａ）、（２，２，１） （Ｂ）、（－２，－２，１） （Ｃ）、（２，－２，１） （Ｄ）、（２，２，－１）
ab?{bx,by,bz}。则a?b的充分必要条件是 3．设a?{ax,ay,az}、（A）、ax?bx,ay?by,az?bz （B）、axbx?ayby?azbz?0 （C）、ax?ay?az （D）、ax?ay?az?bx?by?bz
bxbybz?4．设三向量a,b,c的模分别为3，6，7；且满足a?b?c?0,则a?b?b?c?c?a = 。
（Ａ）、45 （Ｂ）、－47 （Ｃ）、42 （Ｄ）、－43
5．设平面方程为Ｂx + Cz +D = 0,且ＢＣＤ?０，则平面 。 （Ａ）、平行于ＯＸ轴 （Ｂ）、平行于ＯＹ轴 （Ｃ）、经过ＯＹ轴 （Ｄ）、垂直于ＯＹ轴 ?x?acos?6．曲线??y?asin? 在ＸＯＹ面上的投影曲线是 。
?z?b??（Ａ）
{xya??222z?0（Ｂ）
{x?acosz?0zb（Ｃ）
{y?acoszbz?0（Ｄ）
{
x?acos
zbz y?asin
b
三、填空题
１．?ＡＢＣ的三个顶点的坐标为Ａ（３，２，１）、Ｂ（０，１，２）、Ｃ（０，０，０）。 则?ＡＢＣ的重心坐标为 。
２．设a,b为不共线的二向量，如果ka?b与a?kb共线，那么k＝ 。 ３．已知向量a?{3,5,?4},b?{2,1,8}设?a?b与ＯＺ轴垂直，则?＝ 。 ４．一直径的两端为（１，２，－３）、（３，０，１）的球面方程为 。 ５．直线??y?z?0绕Ｙ轴旋转而成的旋转曲面方程为 。
x?0??x2?y2?z2?25６．圆?的圆心为 。半径为 。
?z?3７．一直线与三坐标轴间的角分别为?、?、?，则sin2??sin2 ??sin2?＝ 。
?x?2t?2８．当k= ，及m= 时，直线?y??4t?5与平面kx + my +6z - 7 = 0垂直。
??z?3t?1?四、已知空间三点Ａ（１，２，３）、Ｂ（２，－１，５）和Ｃ（３，２，－５） 求：（１）?ＡＢＣ的面积。
（２）?ＡＢＣ的ＡＢ边上的高。 （３）?Ａ的余弦值。
（４）?ＡＢＣ所在的平面方程。
（５）过Ａ且与ＢＣ边平行的直线方程。
五、设 a?3b?7a?5b，a?4b?7a?2b，求向量a与b的夹角。 六、求点M(4,3,10)关于直线
x?1y?2z?3??的对称点。 245七、求与两平行平面6x - 3y - 2z - 35 = 0 和6x - 3y - 2z + 63 = 0都相切且与其中之一相切
于点Ｍ（５，－１，－１）的球面。
八、一镜面放在平面?： 2x - y + 3z = 11上，在镜面上方有两点Ａ（１，２，－１）、
Ｂ（－２，１，３），现从Ａ点发射一束光至镜面上点Ｐ处，其反射光线通过Ｂ点， 试求点Ｐ的位置。 九、设平面方程?：
xyz???1，证明： abc11111．.若d为原点到?的距离，则 2?2?2?2
dabc2．.平面被三坐标面所截得的三角形面积为： Ａ＝
1a2b2?b2c2?c2a2 2
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