2017年上海市浦东新区高三三模数学试卷

2017年上海市浦东新区高三三模数学试卷

一、填空题（共12小题；共60分）

1. 不等式

???2???1

≥2 的解集是： ．

2. 1?2?? 5 的二项展开式中各项系数的绝对值之和为 ． 3. 函数 ?? ?? = ???1 2 ??≤0 的反函数是 ．

1??

，??∈???，其前 ?? 项和为 ????，则 4. 已知数列 ???? 的通项公式为 ????= 1??

2 ,??≥3

??→∞

,??=1,2

lim????= ．

5. 如图，直三棱柱的主视图是边长为 2 的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为 ．

6. 若复数 ?? 满足 ∣??∣=1，则 ∣ ??+i ???i ∣ 的最大值是 ．

??+??≥2,

内的一个动点，则 ???? ????? 7. 已知 ?? 为坐标原点，点 ?? 5,?4 ，点 ?? ??,?? 为平面区域 ??<1,

??≤2的取值范围是 ．

8. 现有 10 个不同的产品，其中 4 个次品，6 个正品．现每次取其中一个进行测试，直到 4 个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是 ． 9. 若数列 ???? 满足 ??1=12，??1+2??2+3??3+?+??????=??2????，则 ??2017= ．

??=2cos??,3

10. 已知曲线 ??∈ 0,2π 上一点 ?? ??,?? 到定点 ?? ??,0 ??>0 的最小距离为 4，则

??=sin??

??= ．

11. 设集合 ??= ??,?? ∣??=??2+2????+1 ，??= ??,?? ∣??=2?? ??+?? ，且 ??∩?? 是单元素集合，

若存在 ??<0，??<0，使点 ??∈ ??,?? ∣ ????? 2+ ????? 2≤1 ，则点 ?? 所在的区域的面积

为 ．

12. 已知定义在 ?? 上的函数 ?? ?? ，对任意 ??,??∈??，都有 ?? ??+?? +?? ????? =4?? ?? ?? ?? 且

?? 1 =，则 ?? 0 +?? 1 +?? 2 +?+?? 2017 = ．

14

二、选择题（共4小题；共20分）

13. 若样本平均数为 ??，总体平均数为 ??，则 ??

A. ??=??

B. ??≈??

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C. ?? 是 ?? 的估计值 D. ?? 是 ?? 的估计值

14. 如图，?? 是半径为 1 的球的球心，点 ??，??，?? 在球面上，????，????，???? 两两垂直，??，?? 分别

是大圆弧 ???? 与 ???? 的中点，则点 ??，?? 在该球面上的球面距离是 ??

A. 4 A. 充分非必要条件 C. 充要条件 ??

π

B. 3 π

C. 2 B. 必要非充分条件

π

D.

2π

4

15. “?3

D. 既非充分又非必要条件

16. 已知函数 ?? ?? =????2+????+??，且 ??>??>??，??+??+??=0，集合 ??= ??∣?? ?? <0 ，则

A. 任意 ??∈??，都有 ?? ??+3 >0 B. 任意 ??∈??，都有 ?? ??+3 <0 C. 存在 ??∈??，使 ?? ??+3 =0 D. 存在 ??∈??，使 ?? ??+3 <0

三、解答题（共5小题；共65分）

17. 如图，四棱锥 ??????????? 中，????⊥底面????????，且底面 ???????? 为平行四边形，若 ∠??????=60°，

????=2，????=1．

（1）求证：????⊥????；

（2）若 ∠??????=45°，求点 ?? 到平面 ?????? 的距离 ??． 18. 已知函数 ?? ?? = 3sin2??+sin??cos???

π2

3． 2

（1）求函数 ??=?? ?? 在 0, 上的单调递增区间；

（2）将函数 ??=?? ?? 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的

6π

2 倍（纵坐标不变），得到函数 ??=?? ?? 的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数 ??0，

使得 ?? ??0 >

3． 2

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19. 如图，已知直线 ??:??+ 3?????=0 ??>0 为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在 ?? 处发现了北

偏东 60° 海面上 ?? 处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮 ?? 航行，以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的 2 倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜．

（1）如果走私船和巡逻船相距 6 海里，求走私船能被截获的点的轨迹；

（2）若 ?? 与公海的最近距离为 20 海里，要保证在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区

域与公海不相交）．则 ??，?? 之间的最远距离是多少海里?

20. 数列 ???? 的前 ?? 项 ??1，??2，?，???? ??∈??? 组成集合 ????= ??1,??2,?,???? ，从集合 ???? 中任取

?? ??=1,2,3,?,?? 个数，其所有可能的 ?? 个数的乘积的和为 ????（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列 2???1 ，当 ??=1 时，??1= 1 ，??1=1；??=2 时，??2= 1,3 ，??1=1+3，??2=1?3．

（1）若集合 ????= 1,3,5,?,2???1 ，求当 ??=3 时，??1，??2，??3 的值；

（2）若集合 ????= 1,3,7,?,2???1 ，证明：??=?? 时集合 ???? 的 ???? 与 ??=??+1 时集合 ????+1

的 ????（为了以示区别，用 ????? 表示）有关系式 ?????= 2??+1?1 ?????1+????，其中 ??,??∈???，2≤??≤??．

（3）对于（2）中集合 ????．定义 ????=??1+??2+?+????，求 ????（用 ?? 表示）．

21. 已知 ?? ?? 是定义在 ??,?? 上的函数，记 ?? ?? =?? ?? ? ????+?? ，∣?? ?? ∣ 的最大值为

?? ??,?? ．若存在 ??≤??1

（1）验证：??=4???1 是 ?? ?? =2??2，??∈ 0,2 的“逼近函数”；

（2）已知 ?? ?? = ??，??∈ 0,4 ，?? 0 =?? 4 =??? ??,?? ．若 ??=????+?? 是 ?? ?? 的“逼近函

数”，求 ??，?? 的值；

（3）已知 ?? ?? = ??，??∈ 0,4 的逼近确界为 ，求证：对任意常数 ??，??，?? ??,?? ≥．

4

4

1

1

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答案

第一部分 1. 0,1 【解析】由 0,1 ． 2. 243

【解析】令 ??=?1，可得： 1?2?? 5 的二项展开式中各项系数的绝对值之和为 35=243． 3. ???1 ?? =? ??+1 ??≥1

【解析】因为函数 ?? ?? = ???1 2 ??≤0 ， 所以 ???1=? ??， 所以 ??=? ??+1，

互换 ??，??，得：??=? ??+1 ??≥1 ， 所以 ???1 ?? =? ??+1 ??≥1 ． 4. 47

???2???1

≥2 得

???2???1

?2=

???2?2 ???1

???1

=

??????1

≥0，即

??

???1

≤0，即 0≤??<1，故不等式的解集为

【解析】由题可知

??→∞

lim????

1111

=lim 1++3+4+?+?? ??→∞2222123 1?2???2 =lim 1++ 1??→∞21?

2

1

1

111=lim 1++2??? ??→∞22271

=lim ??? ??→∞427=.45. 2 3

【解析】由三视图得到三棱柱的侧视图为底面高为一边，棱柱高为另一边的矩形， 所以侧视图的面积为 2×6. 2 2 【解析】因为复数 ?? 满足 ∣??∣=1， 所以 ?????=1，

令 ??=cos??+isin??，??∈ 0,2π ．

则 ??+i ???i =1+ ????? i+1=2+2isin??． 所以 ∣ ??+i ???i ∣= 4+4sin2??≤2 2， 当且仅当 sin??=±1 时取等号． 所以 ∣ ??+i ???i ∣ 的最大值是 2 2． 7. ?8,1

32

×2=2 3．

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