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《现代控制理论》复习题1
一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号
里打√，反之打×。
（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。
（ × ）2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定
是能控的。
（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。
??Ax，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实（ √ ）4. 对系统x部是一致的。
二、（15分）考虑由下式确定的系统： G(s)?s?3 试求其状态空间实现
s2?3s?2的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。 解： 能控标准形为
?1??01??x1??0??x????u?x???????2???2?3??x2??1??
x??y??31??1??x2?能观测标准形为
?1??0?2??x1??3??x?x???1?3??x???1?u???2????2???
?x?y??01??1??x2?对角标准形为
?1???10??x1??1??x?x???0?2??x???1?u???2????2????
?x?y??2?1??1??x2?
三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统
1??0???x?x?
?2?3??求其状态转移矩阵。?
解：解法1。
容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是?1??1,精品文档
?2??2，它们是不相同的，故系统的
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矩阵A可以对角化。矩阵A对应于特征值?1??1,?2??2的特征向量是 ?1??1???,??1?取变换矩阵 T???1?1??2???
??2??2??11??21??1?1???， 则 T???1?2? ?1?1??????10? ??0?2?因此， D?TAT?1??从而，
eAt1??e?t?e?t0??1?T?T?????2t??1?20e???0???2e?t?e?2te?t?e?2t????t?2t?t?2t??2e?2e?e?2e???1
0??21????e?2t???1?1?
解法2。拉普拉斯方法 由于
?s?1??s?31?11(sI?A)?1???adj(sI?A)???det(sI?A)s(s?3)?2??2s?3???2s?s?31???2111?
???(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)???s?1s?2s?1s?2??????2s?12?????2?2?????(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)??s?1s?2s?1s?2?故 ?(t)?eAt?1?2e?t?e?2t?L[(sI?A)]???t?2t??2e?2e?1?1Ate?t?e?2t? ?t?2t??e?2e?解法3。凯莱-哈密尔顿方法 将状态转移矩阵写成 e系统矩阵的特征值是-1和-2，故 e?a0(t)I?a1(t)A ?a0(t)?a1(t)e?2t?a0(t)?2a1(t) a1(t)?e?t?e?2t
?t?t?2t解以上线性方程组，可得 a0(t)?2e?e因此， ?(t)?eAt?2e?t?e?2t?a0(t)I?a1(t)A???t?2t?2e?2e?
e?t?e?2t??
?e?t?2e?2t???Ax?Bu,四、（15分）已知对象的状态空间模型xy?Cx,是完全能观的，请画出观
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测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。 解 观测器设计的框图：
观测器方程：
~??A~xx?Bu?L(y?Cx)?
?(A?LC)~x?Bu?Ly其中：~x是观测器的维状态，L是一个n×p维的待定观测器增益矩阵。
观测器设计方法：
由于 det[?I?(A?LC)]?det[?I?(A?LC)]?det[?I?(A?CL)] 因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L，使得A?CL具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法。
五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。
解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：
TTTTTTT??Ax在平衡点xe?0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称线性时不变系统x正定矩阵Q，李雅普诺夫矩阵方程AP?PA??Q有惟一的对称正定解P。 在具体问题分析中，可以选取Q = I。
T?1??01??x1??x考虑二阶线性时不变系统： ??????x? ?x?1?1??2??2??原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 AP?PA??I 其中的未知对称矩阵 P??T?p11?p12p12? ?p22?p12??01???10???1?1???0?1? p22??????将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得
?0?1??p11?1?1??p???12进一步可得联立方程组
p12??p11??p22???p12精品文档
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?2p12??1p11?p12?p22?0 2p12?2p22??1?p11从上式解出p11、p12和p22，从而可得矩阵 P???p12根据塞尔维斯特方法，可得 ?1?p12??3/21/2???? p22?1/21???5?0 43?02?2?detP?故矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
六、（10分）已知被控系统的传递函数是
G(s)?10
(s?1)(s?2)试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j。 解 系统的状态空间模型是
1??0?0????xx?u?????2?3??1???y??100?x将控制器 u???k0k1?x 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程
?0???x??2?k01?x?
?3?k1??2该闭环系统的特征方程是 det(?I?Ac)???(3?k1)??(2?k0)
期望的闭环特征方程是 (??1?j)(??1?j)???2??2
22通过 ??(3?k1)??(2?k0)???2??2
2可得 3?k1?2从上式可解出 k1??12?k0?2 k0?0
因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是 u??01??
?x1?? x?2?《现代控制理论》复习题2
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