带电粒子在磁场中的多解问题
高考频度：★★★☆☆
如图所示，在竖直平面内直线AB与竖直方向成30°角，AB左侧有匀强电场，右侧有垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从P点以初速v0竖直向下射入电场，粒子首次回到边界AB时，经过Q点且速度大小不变，已知P、Q间距为l，之后粒子能够再次通过P点，（粒子重力不计）求：
难易程度：★★★☆☆
（1）匀强电场场强的大小和方向； （2）匀强磁场磁感强度的可能值。
2mv03mv0B?【参考答案】（1），方向垂直于AB且与竖直方向成60°角向下 （2）（R=1）；
ql2qlB?nmv0n=1、2、3…（R>1） ql?n?1?【试题解析】（1）由题意可知，粒子首次回到边界AB时，经过Q点且速度大小不变，PQ间电势差为零，P、Q在同一等势面上，匀强电场垂直于AB且与竖直方向成60°角向下，粒子在电场中沿AB方向做匀速直线运动，l=v0cos 30°·t 在垂直AB方向粒子做匀减速直线运动：v0sin30??a?23mv0解得：E? 2qltqEt?? 2m2 - 1 -
（2）粒子从Q点进入磁场时沿AB方向的分速度不变，垂直AB方向的分速度大小不变方向反向，由此可知：粒子经Q点的速度与AB成30°角，若粒子进入磁场偏转后恰好经过P点 其轨道半径为R，磁感应强度为B，由几何知识得：R=l
2v0粒子做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv0B?m R解得：B?mv0 ql若粒子做圆周运动的轨道半径R 若圆周运动的轨道半径R>l，则每个周期沿AB界限向A移动的距离：Δx=R–l 粒子可能从电场中再次经过P点需要满足的条件是：l=n×Δx（n=1、2、3…） ?n?1?l，B?解得：R?n【知识补给】 nmv0（n=1、2、3…） ?n?1?ql带电粒子在磁场中运动的多解问题 求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 （1）分析题目特点，确定题目多解性形成原因。 （2）作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。 （3）若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。 - 2 - 已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小； （2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 如图甲所示，在坐标系xOy的第一象限内存在图乙所示的交变磁场（取垂直纸面向外为正），OD与x轴正方向的夹角为α，α=37°，P（4L，3L）是OD上一点。t=0时刻，一质量为m、所带电荷量为q的带正电粒子从P点沿y轴负方向射入磁场，经过一定的整周期（交变磁场变化的周期）后粒子恰好能经过原点O，已知粒子的重力不计，sin 37°=0.6，求： （1）粒子的运动速度应满足的条件； （2）交变磁场变化的周期T。 在如图所示的xOy坐标系中，y>0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场，y<0的区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场。一电子（质量为m、电荷量为–e）从y轴上的P（0，d）点以沿x轴正方向的初速度v0射出，第一次穿越x轴时，恰好能通过x轴上的D（2d，0）点，第二次穿越x轴后可再次运动到P点，不计重力的影响。求： - 3 - （1）请用铅笔、直尺和圆规画出电子的运动轨迹； （2）电场强度E的大小和感应强度B的大小； （3）若将电子的速度增大为3v0，则电子从磁场穿越x轴到电场时的时刻。 一圆筒的横截面如图所示，圆心为O、半径为R，在筒上有两个小孔M，N且M、O、N在同一水平线上。圆筒所在区域有垂直于圆筒截面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在圆筒左侧有一个加速电场．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，由静止经电场加速后从M孔沿 MO方向射入圆筒．已知粒子与圆筒碰撞时电荷量保持不变，碰撞后速度大小不变，方向与碰 撞前相反，不计粒子重力。 （1）若加速电压为U0，要使粒子沿直线MN运动，需在圆筒内部空间加一匀强电场，求所加电场的电场强度大小E； （2）若带电粒子与圆筒碰撞三次后从小孔N处射出，求粒子在圆筒中运动时间t； （3）若带电粒子与圆筒碰撞后不越过小孔M，而是直接从小孔M处射出，求带电粒子射入圆筒时的速度v。 如图甲所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N。现有一质量为m、带电荷量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从 M点进入圆形区域，此时速度方向与x轴正方向的夹角为30°。不考虑电子所受的重力。 （1）求电子进入圆形区域时的速度大小和匀强电场场强E的大小； （2）若在圆形区域内加一个垂直纸面向里的匀强磁场，使电子穿出圆形区域时速度方向垂直于x轴，求所加磁场磁感应强度B的大小和电子刚穿出圆形区域时的位置坐标； - 4 -
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