2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率 - 导数学业分层测评 苏教版选修2-2

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数学业分层测评 苏教版选修2-2

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、填空题

1．设函数f(x)在x＝x0处可导，当h无限趋近于0时，对于

fx0＋h－fx0

的值，h以下说法中正确的是_____________________________________．

①与x0，h都有关；②仅与x0有关而与h无关； ③仅与h有关而与x0无关；④与x0，h均无关．

【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与h无关．

【答案】 ②

2．函数f(x)＝x在x＝3处的导数等于________． Δy【解析】 ＝Δx＋ΔxΔx2

2

－3

2

＝6＋Δx，

令Δx→0，得f′(3)＝6. 【答案】 6

12

3．已知物体的运动方程为s＝－t＋8t(t是时间，s是位移)，则物体在t＝2时的速

2度为________．

1112??22

【解析】 Δs＝－(2＋Δt)＋8(2＋Δt)－?8×2－×2?＝6Δt－(Δt)，

222??则

Δs1

＝6－Δt， Δt2

Δs当Δt→0时，→6.

Δt【答案】 6

4．如图1-1-6，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________，当Δx→0时，

f＋Δx－fΔx→_______.

图1-1-6

【解析】 f(f(0))＝f(4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx→0时，

f＋Δx－fΔx→－2，即直线AB的斜率．

【答案】 2 －2

12

5．抛物线y＝x在点Q(2,1)处的切线方程为________．

41Δy4

【解析】 ＝Δx＋ΔxΔx2

12－×24

1

＝1＋Δx.

4

Δy当Δx→0时，→1，即f′(2)＝1，

Δx由导数的几何意义知，点Q处切线斜率k＝f′(2)＝1. ∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0. 【答案】 x－y－1＝0

6．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-7所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是________．(用“<”连接)

图1-1-7

【解析】 由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA

【答案】 f′(A)

7．已知曲线y＝f(x)＝2x＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为________． 【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)，则

2

fx0＋Δx－fx0

＝

Δx＝4(x0＋1)＋2Δx， 当Δx→0时，x0＋Δx2

＋

x0＋Δx－2x20－4x0

Δxfx0＋Δx－fx0

→4(x0＋1)，即f′(x0)＝4(x0＋1)，

Δx由导数的几何意义知

f′(x0)＝16，

所以x0＝3，y0＝30， 所以点P的坐标为(3,30)． 【答案】 (3,30)

8．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-8所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．

图1-1-8

【解析】 由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时

f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．

【答案】 ② 二、解答题

9．函数f(x)＝ax－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值.

【导学号：01580005】

1

【解】 因为点(1，－1)在切线y＝k(x＋2)上，所以k＝－.

3

3

f＋Δx－fΔx2

＝

a＋Δx3

－b＋Δx－a＋b Δx＝a(Δx)＋3aΔx＋3a－b， 当Δx→0时，

f＋Δx－fΔx→3a－b，

1

即f′(1)＝3a－b，所以3a－b＝－ ①

3又由f(1)＝－1.得a－b＝－1 ② 14

由①②得，a＝，b＝.

33

10．若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：

2

s＝{3t＋2， t≥3，

＋t－

2

， 0≤t＜3. 求：

(1)物体在t∈3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；

(3)物体在t＝1时的瞬时速度．

【解】 (1)∵物体在t∈3,5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2，

物体在t∈3,5]内的位移变化量为

Δs＝3×5＋2－(3×3＋2)＝3×(5－3)＝48， Δs48

∴物体在t∈3,5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．

Δt2(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵物体在t＝0附近的平均变化率为 Δs29＋＝Δt＋Δt－

2

2

2

2

2

－29－－

2

Δt＝3Δt－18，

Δs当Δt→0时，→－18，

Δt∴物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.

(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t＝1附近的平均变化率为 Δs29＋＝Δt＋Δt－3]－29－

Δt2

1－

2

＝3Δt－12，

Δs当Δt→0时，→－12，

Δt∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12m/s.

能力提升]

1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．

①②③④

Δs为从时间t到t＋Δt时物体的平均速度； ΔtΔs为在t时刻物体的瞬时速度； ΔtΔs为当时间为Δt时物体的速度； ΔtΔs为在时间t＋Δt时物体的瞬时速度． ΔtΔs【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt→0时，为在t时刻物体的瞬时速度．

Δt【答案】 ②