高等数学基础第一次作业
第1章 函数
第2章 极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等．
2 A. f(x)?(x)，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x
x2?1 C. f(x)?lnx，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?
x?1 ⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（C）对称．
3 A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．
A. y?ln(1?x) B. y?xcosx
2ax?a?x C. y? D. y?ln(1?x)
2 ⒋下列函数中为基本初等函数是（C）． A. y?x?1 B. y??x C. y?x2 D. y????1,x?0
1,x?0?⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．
x2?1 B. limln(1?x)?0 A. lim2x?0x??x?2sinx1 C. lim?0 D. limxsin?0
x??x??xx ⒍当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．
1sinx A. B.
xx1 C. xsin D. ln(x?2)
x ⒎若函数f(x)在点x0满足（ A ），则f(x)在点x0连续。
A. limf(x)?f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义
x?x0 C. lim?f(x)?f(x0) D. lim?f(x)?lim?f(x)
x?x0x?x0x?x0
（二）填空题
x2?9?ln(1?x)的定义域是（3， +∞)． ⒈函数f(x)?x?322 ⒉已知函数f(x?1)?x?x，则f(x)? x - x ．
1x1/ 2
⒊lim(1?． )? ex??2x1?x? ⒋若函数f(x)??(1?x),x?0，在x?0处连续，则k? e．
?x?0?x?k,?x?1,x?0 ⒌函数y??的间断点是 x=0 ．
?sinx,x?0 ⒍若limf(x)?A，则当x?x0时，f(x)?A称为 无穷小量 ．
x?x0
（三）计算题 ⒈设函数
?ex,f(x)???x, ⒉求函数y?lglgx?0x?0 求：f(?2),f(0),f(1)．
解：f(-2) = - 2，f(0) = 0， f(1) = e
2x?1的定义域． x2x?1 解：由?0解得x<0或x>1/2，函数定义域为(-∞，0)∪(1/2，+∞)
x ⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，b试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：如图梯形面积A=(R+b)h，其中b? 22∴
R2?h2
A?(R?R?h)hh
sin3x3sin3x3x?3lim?lim⒋求 x?0sin2xx?02sin2x22xx2?1x?1lim?lim(x?1)??2x??1sin(x?1)x??1sin(x?1)⒌求
RRR
⒍求
⒎求．
⒏求 ⒐求
tan3xsin3xlim?lim3cos3x?3x?0x?0x3x1?x2?1(1?x2?1)(1?x2?1)lim?limx?0x?0sinx(1?x2?1)sinxx?lim?lim?022x?0x?0(1?x?1)sinx1?x?1sinxx?1xx?3?4x?4xlim()?lim()?lim(1?)x??x?3x??x??x?3x?3x?3(1?x2)?1x?4?4?4[(1?)]2x?6x?8(x?2)(?x?x34)?2?e?4?limlim?lim
x?4x2?5x?4x?x?4(x?1)(x??44)33 (1?) ⒑设函数 x?3?(x?2)2,x?1?f(x)??x,?1?x?1讨论f(x)的连续性，并写出其连续区间．
?x?1,x??1?x?1
解：
x?1lim?f(x)?(1?2)2?1?lim?f(x)?1
limf(x)?1?f(1)x?1limf(x)??1?limf(x)??1?1?0x??1?x??1?∴函数在x=1处连续
x??1limf(x)
不存在，∴函数在x=-1处不连续
高等数学基础第二次作业 第3章 导数与微分
（一）单项选择题
f(x)f(x)存在，则lim?（ B ）．
x?0x?0xx A. f(0) B. f?(0) C. f?(x) D. 0
f(x0?2h)?f(x0) ⒉设f(x)在x0可导，则lim?（D）．
h?02h A. ?2f?(x0) B. f?(x0) C. 2f?(x0) D. ?f?(x0)
⒈设f(0)?0且极限limf(1??x)?f(1)?（A）．
?x?0?x A. e B. 2e
11 C. e D. e
24 ⒋设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，则f?(0)?（D）．
⒊设f(x)?e，则limx A. 99 B. ?99 C. 99! D. ?99! ⒌下列结论中正确的是（ C ）．
A. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0可导． B. 若f(x)在点x0连续，则在点x0可导． C. 若f(x)在点x0可导，则在点x0有极限． D. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续． （二）填空题
1?2?xsin,x?0 ⒈设函数f(x)??，则f?(0)? 0 ． x?x?0?0,df(lnx)x2xx? (2/x)lnx+5/x ． ⒉设f(e)?e?5e，则
dxx?1在(1,2)处的切线斜率是 1/2 ．
π ⒋曲线f(x)?sinx在(,1)处的切线方程是 y=1 ．
42x2x ⒌设y?x，则y?? 2x(lnx+1) ．
⒊曲线f(x)? ⒍设y?xlnx，则y??? 1/x ．
（三）计算题
⒈求下列函数的导数y?：
⑴y?(xx?3)ex y=(x3/2+3)ex，y＇=3/2x1/2ex+(x3/2+3)ex
=(3/2x1/2+x3/2+3)ex
⑵y?cotx?x2lnx y＇=-csc2x + 2xlnx +x
x2⑶y? y＇=(2xlnx-x)/ln2x
lnxcosx?2xx32x6
⑷y? y＇=[(-sinx+2ln2)x-3x(cosx+2)]/x
x3 ⑸y?lnx?x= sinx2
⑹y?x4?sinxlnx y＇=4x3-cosxlnx-sinx/x
1(?2x)sinx?(lnx?x2)cosxxsin2xsinx?x2x2x2x
⑺y? y＇=[(cosx+2x)3-(sinx+x)3ln3]/3
3x=[cosx+2x-(sinx+x2)ln3]/3x
⑻y?extanx?lnx y＇=extanx+exsec2x+1/x = ex(tanx+sec2x)+1/x ⒉求下列函数的导数y?： ⑴y?e1?x ⑵y?lncosx3
2⑶y?xxx y=x7/8 y＇=(7/8)x -1/8
⑷y?3x?x ⑸y?cos2ex ⑹y?cosex
⑺y?sinnxcosnx y＇=nsinn-1xcosxcosnx - nsinnxsin nx ⑻y?5sinx ⑼y?esinx ⑽y?xx?ex ⑾y?xe?ee
⒊在下列方程中，y?y(x)是由方程确定的函数，求y?： ⑴ycosx?e2y 方程对x求导：y＇cosx-ysinx=2 y＇e2y
22222xxy＇=ysinx / (cosx-2e2y)
⑵y?cosylnx 方程对x求导：y ＇= y ＇(-siny)lnx +(1/x)cosy
y＇=[(1/x)cosy] / (1+sinylnx)
x2⑶2xsiny? 方程对x求导：2siny + y＇2xcosy=(2xy-x2 y＇)/y2
yy＇=2(xy –y2siny) /(x2+2xy2cosy)
⑷y?x?lny 方程对x求导：y＇=1+ y＇/y， y＇=y /(y-1)
⑸lnx?ey?y2 方程对x求导：1/x+ y＇ey=2y y＇， y＇=1/x(2y-ey)
⑹y2?1?exsiny 方程对x求导：2y y＇=exsiny + y＇ excosy
y＇= exsiny/(2y- excosy)
⑺ey?ex?y3 方程对x求导：y＇ey =ex -3y2 y＇， y＇=ex/ey+3y2 ⑻y?5x?2y 方程对x求导：y＇=5xln5 + y＇2yln2， y＇=5xln5 /(1-2yln2) ⒋求下列函数的微分dy： ⑴y?cotx?cscx
lnx sinx1?x⑶y?arcsin
1?x1?x⑷y?3
1?x⑸y?sin2ex
⑵y?⑹y?tanex
⒌求下列函数的二阶导数： ⑴y?xlnx ⑵y?xsinx ⑶y?arctanx ⑷y?3x （四）证明题
设f(x)是可导的奇函数，试证f?(x)是偶函数．
证明：由 f(x)= - f(-x) 求导f＇(x)= - f＇(-x)(-x)＇ f＇(x)= f＇(-x)， ∴f＇(x)是偶函数
23
高等数学基础第三次作业
第4章 导数的应用
（一）单项选择题
⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在??(a,b)，使得f(?)? A. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导 C. 在(a,b)内连续且可导
D. 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导
⒉函数f(x)?x?4x?1的单调增加区间是（D）． A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??) ⒊函数y?x?4x?5在区间(?6,6)内满足（A）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的（C）．
A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点
⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0?(a,b)，若f(x)满足（C ），则f(x)在x0取到极小值．
A. f?(x0)?0,f??(x0)?0 B. f?(x0)?0,f??(x0)?0 C. f?(x0)?0,f??(x0)?0 D. f?(x0)?0,f??(x0)?0
⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在此区间内是（A）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的
⒎设函数f(x)?ax?(ax)?ax?a在点x?1处取得极大值?2，则a?（ ）．
3222f(b)?f(a)．
b?a1 31 C. 0 D. ?
3 A. 1 B.
（二）填空题
⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0，当x?x0时f?(x)?0，则x0是
f(x)的 极小值 点．
⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)? 0 ．
⒊函数y?ln(1?x)的单调减少区间是 (-∞，0) ． ⒋函数f(x)?e的单调增加区间是 (0，+∞) ．
⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是 f(a) ． ⒍函数f(x)?2?5x?3x的拐点是 x=0 ．
⒎若点(1,0)是函数f(x)?ax?bx?2的拐点，则a? ，b? ．
（三）计算题
⒈求函数y?(x?1)(x?5)2的单调区间和极值． 解：y＇=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)
由y＇=0求得驻点x=1，5.
32323x22列表 (-∞，1) x y＇ + 1 0 (1，5) — 5 0 (5，+∞) + y ↑ Ymax=32 ↓ Ymin=0 ↑ (-∞，1)和 (5，+∞)为单调增区间， (1，5)为单调减区间，极值为Ymax=32，Ymin=0。
22 ⒉求函数y?3(x?2x)在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值．
解：y＇=2x-2，驻点x=1是极小值点，在区间[0，3]上最大值为y(3)=6，最小值为y(1)=2。 x y＇ y 0 - 3 (0，1) - ↓ 1 0 2 (1，3) + ↑ 3 6
⒊试确定函数y?ax3?bx2?cx?d中的a,b,c,d，使函数图形过点(?2,44)和点(1,?10)，且x??2是驻点，x?1是拐点．
⒋求曲线y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．
解：曲线y2=2x上的点(x，y)到点A(2，0)的距离d?由(d 2)＇=0求得x=1，由此得所求点有两个：(1,(x?2)2?(2x?0)2 d 2=x2-2x+4，(d 2)＇=2x-2，
2),(1,?2)
⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解 右图为圆柱体的截面， 由图可得R2=L2-H2
圆柱体的体积V=πR2H=π(L2-H2)H
R3L， 3623?L3最大。 此时R?L，圆柱体的体积V?93
⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
V＇=π(L2-3H2)，由V＇=0解得H?解：圆柱体的表面积S=2πR2+2πRH
由体积V=πR2H解得H=V/πR2 ∴ S=2πR+2V/ R
S＇=4πR - 2V/ R2=2(2πR3 - V) / R2 由S＇=0解得R?32
LHRH3VV，此时H??2?4?238V??2R 22?V答：当高与底面直径相等时圆柱体表面积最小。
⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底面边长为a高为h
表面积S=a 2+4ah
∵a 2h =62.5，∴h =62.5/ a 2
S=a 2+250/a， S＇=2a - 250/a 2=(2a 3 – 250)/a 2，
由S＇=0解得a =5m，h =2.5m，此时S=75m2最小，即用料最省。 ah⒏从面积为S的所有矩形中，求其周长最小者．
⒐从周长为L的所有矩形中，求其面积最大者．
（四）证明题
⒈当x?0时，证明不等式x?ln(1?x)．
证明：令f(x)=x-ln(1+x)， f(x)=1-1/ (1+x)=x/ (1+x)
当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=0
∴当x＞0时f (x)＞0，即x＞ln(1+x)
⒉当x?0时，证明不等式ex?x?1．
证明：令f(x)=ex/ (x+1)，
f＇(x)=[ ex(x+1)- ex]/ (x+1)2=x ex/ (x+1)2
当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=1 ∴当x＞0时f (x)＞1，即ex＞x+1
高等数学基础第四次作业
第5章 不定积分
第6章 定积分及其应用
（一）单项选择题
1，则f?(x)?（D）． x1 A. lnx B. ?2
x12 C. D. 3
xx ⒈若f(x)的一个原函数是⒉下列等式成立的是（D）． A.
?f?(x)dx??f(x) B. ?df(x)?f(x)
C. df(x)dx?f(x) D. ⒊若f(x)?cosx，则
df(x)dx?f(x) dx??f?(x)dx?（B）．
A. sinx?c B. cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c
d23xf(x)dx?（D）． ?dx233 A. f(x) B. xf(x)
113 C. f(x) D. f(x)
331 ⒌若?f(x)dx?F(x)?c，则?f(x)dx?（B）．
x A. F(x)?c B. 2F(x)?c
1 C. F(2x)?c D. F(x)?c
x ⒍由区间[a,b]上的两条光滑曲线y?f(x)和y?g(x)以及两条直线x?a和x?b所围成的平面区
⒋
域的面积是（ ）． A. C.
??ba[f(x)?g(x)]dx B. f(x)?g(x)dx D.
??bab[g(x)?f(x)]dx
baa[f(x)?g(x)]dx
⒎下列无穷限积分收敛的是（D）．
??1 A. ?dx B. ?exdx
1x0??1??1 C. ?dx D. ?dx
11x2x??
（二）填空题
⒈函数f(x)的不定积分是
?f(x)dx
⒉若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式 F(x)=G(x)+c ．
x2x2 ⒊dedx? ．
?edx ⒋(tanx)?dx? tanx+c ． ⒌若 ⒍
3??f(x)dx?cos3x?c，则f?(x)? -9cos3x ．
15(sinx?)dx? 3 ． ??32??1 ⒎若无穷积分?dx收敛，则p ＞1 ． p1x
（三）计算题
1xdx??cos1(?1)dx??cox1d(1)??sin1?c ⒈??xx2?xxxx2ex1dx?2?ex ⒉?dx?2?exd(x)?2ex?c x2x11 ⒊?dx??d(lnx)?ln|lnx|?c
xlnxlnx11x1 ⒋?xsin2xdx??x(?cos2x)?dx?(?xcos2x??(x)?cos2xdx)??cos2x?sin2x?c
2224e3?lnxe31117⒌?dx??[?lnx()]dx?(3lnx?ln2x)|?3??
11xxx2221111?2x11?21?2x13e?2?1?2x1?2x?2x⒍?xedx???x(e)?dx?(xe|??edx)?(e?e|)?
000020222422exexeex211x2e3?e2?dx??|?⒎?xlnxdx??()?lnxdx?(lnx)|??
11111222x244elnxe1e1e111e2?⒏? dx??()lnxdx??lnx?dx????1?|1?1x2|?1x1x2xex1ecos
（四）证明题
⒈证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为奇函数，则证明：
0?a?af(x)dx?0．
?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx，在第一项中令
?a00aaa00?aa0ax = - t，
a则??af(x)dx???a证明：
0f(?t)dt???f(t)dt???f(x)dx，∴?f(x)dx?0
⒉证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为偶函数，则
??af(x)dx?2?f(x)dx．
0?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx，在第一项中令
?a00aaa00?aaa0ax = - t，
a0则??af(x)dx???a⒊证明：
f(?t)dt??f(t)dt??f(x)dx，∴?f(x)dx?2?f(x)dx
0??af(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx
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