题型七 综合实践题
例1．【问题情境】
已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接
DG、EG.
【深入探究】
(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；
(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； 【拓展应用】
(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．
第1题图
【答案】(1)证明：∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠BCA＝∠ABC＝45°， ∵FG⊥BC，
∴∠FGC＝90°，∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°， ∴∠GFC＝∠GCF， ∴GC＝GF；
(2)解：DG＝EG，DG⊥EG； 证明：同(1)可证GC＝GF， ∵∠DCE＝90°，∠BCA＝45°， ∴∠DCG＝45°， ∵∠GFC＝45°， ∴∠DCG＝∠EFG， ∵△CDE平移得到△ABF，
∴CE＝AF，∴CE＋CF＝AF＋CF，即EF＝AC， ∵AC＝CD，∴EF＝CD，∴△DCG≌△EFG(SAS)， ∴DG＝EG，∠DGC＝∠EGF， ∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC，
即∠DGE＝∠CGF＝90°， ∴DG⊥EG；
(3)解：∠CGE＝180°－α.
例2．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.
【问题发现】
(1)如图①，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是________，位置关系是________； 【拓展探究】
(2)如图②，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；
【解决问题】
(3)若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度．
第2题图
【答案】解：(1)AH＝PH，AH⊥PH； 【解法提示】如解图①，连接HC，
第2题解图①
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC＝45°， 又∵QH⊥BD，
∴△DHQ是等腰直角三角形， ∴HD＝HQ，∠HDP＝∠HQC＝45°， 由平移的性质可知DP＝CQ，
HD＝HQ??
在△HDP和△HQC中，?∠HDP＝∠HQC，
??DP＝QC∴△HDP≌△HQC. ∴HP＝HC，∠DHP＝∠QHC.
根据正方形是轴对称图形得到HA＝HC，∠AHD＝∠CHD， ∴∠AHP＝∠AHD＋∠DHP＝∠CHD＋∠QHC＝90°，即AH⊥PH. ∴HA＝HP，AH⊥PH. (2)(1)中的结论仍然成立， 理由如下：如解图②，连接HC，
第2题解图②
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC＝45°， 又∵QH⊥BD，
∴△DHQ是等腰直角三角形，∴∠HDP＝∠HQC＝135°，HD＝HQ，由平移的性质可知DP＝CQ，
HD＝HQ??
在△HDP和△HQC中，?∠HDP＝∠HQC，
??PD＝CQ∴△HDP≌△HQC(SAS)， ∴HP＝HC，∠DHP＝∠QHC，
根据正方形是轴对称图形得到HA＝HC，∠AHD＝∠CHD， ∴∠AHP＝∠AHD－∠DHP＝∠CHD－∠CHQ＝90°， ∴HA＝HP，AH⊥PH； (3)DP＝23.
【解法提示】由(1)知，AH＝PH，AH⊥PH， ∴∠HPA＝45°， ∵∠AHQ＝120°，
∴∠PHQ＝120°－90°＝30°.
∴∠PHD＝∠QHD－∠PHQ＝60°，∠AHB＝∠CHB＝∠AHP－∠PHD＝30°， ∴∠CHP＝∠CHB＝∠AHB＝30°， 180°－∠CHP∴∠CPH＝＝75°，
2
∴∠APD＝∠CPH－∠APH＝30°，在Rt△ADP中，AD＝2， ∴DP＝
2
＝23.
tan∠APD例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，
连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.
(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；
(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝6，请直接写出BQ的长．
第3题图
【答案】解：(1)CP＝BQ; 【解法提示】如解图①，连接OQ，
第3题解图①
由旋转可知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ，∠POQ＝60°， 在Rt△ABC中，O是AB中点， ∴OC＝OA＝OB，
∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ， ∴∠COP＝∠BOQ，
OC＝OB??
在△COP和△BOQ中，?∠COP＝∠BOQ，
??OP＝OQ∴△COP≌△BOQ(SAS)， ∴CP＝BQ；
(2)成立，理由如下：
如解图②，连接OQ，
图②
由旋转知PQ＝OP，∠OPQ＝60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ，∠POQ＝60°， ∵在Rt△ABC中，O是AB中点， ∴OC＝OA＝OB，
∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，
OC＝OB??
在△COP和△BOQ中，?∠COP＝∠BOQ，
??OP＝OQ∴△COP≌△BOQ(SAS)， ∴CP＝BQ； (3)BQ＝
6－2. 2
【解法提示】在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6， ∴BC＝AC·tanA＝2，
如解图③，过点O作OH⊥BC于点H，
第3题解图③
∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AC， ∵O是AB中点，
1216∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，
2222∵∠BPO＝45°，∠OHP＝90°， ∴∠BPO＝∠POH，∴PH＝OH＝∴CP＝PH－CH＝
6
， 2
626－2－＝， 222
6－2
. 2
连接OQ，同(1)的方法得，BQ＝CP＝
例4．已知正方形ABCD，点E在直线AD上(不与点A、D重合)，连接BE，作EF⊥BE，且EF＝BE，过点F作FG⊥BC，交直线BC于点G.
(1)如图①，当点E在边AD上，点G在边BC的延长线上时，求证：AB＋AE＝BG；
(2)如图②，当点E在边DA的延长线上，点G在边BC上时，FG交AD于点H，试猜想AB、AE与BG的关系，并加以证明； (3)如图③，当点E在边AD的延长线上，点G在边BC上时，FG交AD于点N，请直接写出线段AB、AE、BG之间的数量关系，不需要证明．
图① 图② 图③第4题图
【答案】(1)证明：如解图，延长AD交GF的延长线于点M， ∵四边形ABCD是正方形，
第4题解图
∴∠A＝90°，∠ABC＝90°， 又∵FG⊥BC，
∴四边形ABGM是矩形， ∴AM＝BG，
∵∠A＝90°，EF⊥BE，∠M＝90°， ∴∠AEB＝∠MFE，
?∠A＝∠M在△ABE和△MEF中，?
?∠AEB＝∠MFE，
??EB＝EF∴△ABE≌△MEF(AAS)， ∴AB＝EM，
∵AM＝AE＋EM＝AE＋AB， ∴AB＋AE＝BG； (2)AB－AE＝BG；
证明：∵∠FEH＋∠BEA＝90°，
∠BEA＋∠ABE＝90°， ∴∠FEH＝∠ABE，
∠BAE＝∠EHF??
在△ABE和△HEF中，?∠ABE＝∠HEF，
??BE＝EF∴△ABE≌△HEF(AAS)，
∴EH＝AB，EH－AE＝AB－AE＝AH， ∵四边形ABGH是矩形， ∴AH＝BG，∴AB－AE＝BG； (3)AE＝AB＋BG.
【解法提示】由(2)得△ABE≌△NEF， ∴NE＝AB，
∵AN＋NE＝AN＋AB＝AE，BG＝AN， ∴AE＝AB＋BG.
1
例5．如图，△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D，∠FAC＝∠ABC，且∠FAC在AC下方，点P，Q分别是射线BD，射线
2
AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE.
(1)若∠ABC＝60°，BP＝AQ.
①如图①，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系； ②如图②，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；
(2)若∠ABC＝2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．
第5题图
1
【答案】解：(1)①DE＝AQ，DE∥AQ；
2
②成立；
【解法提示】如解图①，连接PC、PQ，
第5题解图①
∵BA＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，
∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP，∴△AQC≌△BPC(SAS)， ∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP，
∴∠ACQ＋∠ACP＝∠BCP＋∠ACP＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， 又PE⊥QC，∴E为QC的中点， ∵AB＝BC，BD⊥AC，∴D为AC的中点， ∴DE＝1
2AQ，DE∥AQ；
②成立．理由如下： 如解图②，连接PC、PQ.
∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC， ∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP，∴△AQC≌△BPC(SAS)， ∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP， ∴∠PCQ＝∠BCA＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， 又∵PE⊥QC，∴E为QC的中点，
第5题解图②
∵AB＝BC，BD⊥AC，∴D为AC的中点， 1
∴DE＝AQ，DE∥AQ；
2
第5题解图③
(2)如解图③，连接PC，取PC中点M，连接MD、ME，设PE与AC交点为N， ∵∠PDC＝90°， 1
∴MD＝PC，
2
1
同理ME＝PC，即MP＝MC＝MD＝ME，
2∴P、D、E、C四点共圆， ∴∠NCE＝∠NPD，∠EDC＝∠NPC， ∵DE∥AQ，∴∠QAC＝∠EDC， 又∠QAC＝∠PBC， ∴∠NPC＝∠PBC，
∵∠EPD＋∠NPC＝∠PBC＋∠BCP， ∴∠EPD＝∠BCP， ∴∠NCE＝∠BCP.
由∠NCE＝∠BCP，∠QAC＝∠PBC，得△QAC∽△PBC， ∴
AQAC2DC∠ABC＝＝＝2sin∠DBC＝2sin， BPBCBC2AQBP即 ＝2sinα.
例6．已知，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，点P是射线CB上一点(点P不与点B、C重合)，线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M.
(1)如图①，当AC＝BC，点P在线段CB上时，线段PB，CM的数量关系是________；
(2)如图②，当AC＝BC，点P在线段CB的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
AC5
(3)如图③，若＝，点P在线段CB的延长线上，CM＝2，AP＝13，求△ABP的面积．
BC2
第6题图
【答案】解：(1)PB＝2CM；
【解法提示】如解图①，过点Q作QD⊥AC于点D，
第6题解图①
QE⊥BC交BC的延长线于点E.
∵AQ是由AP绕点A顺时针旋转90°得到的， ∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°，
∴∠PAC＋∠QAD＝90°，又∠PAC＋∠APC＝90°， ∴∠QAD＝∠APC， ∴△ACP≌△QDA(AAS)， ∴AC＝QD＝CE，
又∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝BC＝EC，即点C为BE的中点， 1
∴CM＝QE，即QE＝2CM，
2连接AE，∵AC＝CE＝BC， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴AE＝AB，
∵∠BAE＝∠PAQ＝90°，∴∠BAP＝∠EAQ， 又∵AP＝AQ，
∴△APB≌△AQE(SAS)， ∴BP＝QE＝2CM， ∴PB＝2CM；
(2)(1)中的结论PB＝2CM仍然成立；
证明：如解图②所示，过点Q作QG⊥BC交BC的延长线于点G，过点A作AF⊥QG交QG的延长线于点F.
第6题解图②
∵AQ是由AP绕点A顺时针旋转90°得到的， ∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°， ∴∠PAC＋∠CAQ＝90°， 又∵∠QAF＋∠CAQ＝90°， ∴∠PAC＝∠QAF， ∴△PAC≌△QAF(AAS)， ∴AC＝AF，
∴四边形AFGC为正方形， ∴CG＝AC＝BC，即C为BG的中点， ∴QG＝2CM，
连接AG可得，△ABG为等腰直角三角形， ∴AB＝AG，
∠PAB＋∠BAQ＝∠QAG＋∠BAQ＝90°， ∴∠PAB＝∠QAG， ∴△PAB≌△QAG(SAS)， ∴PB＝QG＝2CM， ∴PB＝2CM；
(3) 如解图③所示，过点Q作QH⊥AC交AC的延长线于点H.
第6题解图③
AC5
由题知，＝，设AC＝5a，BC＝2a，
BC2
由(2)知，△ACP≌△QHA，∴QH＝AC＝5a， 又∵△BCM∽△QHM， ∴∴
BCCM＝， QHMH2a2
＝，∴MH＝5， 5aMH
又∵AP＝AQ＝13，
∴在Rt△AHQ中，根据勾股定理得：QH＋AH＝AQ， ∴(5a)＋(5a＋2＋5)＝13， 化简得：5a＋7a－12＝0， 即(a－1)(5a＋12)＝0， 12
解得：a1＝1，a2＝－(舍)，
5∴BC＝2，AH＝CP＝12，AC＝5， ∴BP＝PC－BC＝12－2＝10， 11
∴S△ABP＝BP·AC＝×10×5＝25.
22
例7．如图，等边△ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形． (1)如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
(2)如图②，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
(3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．
2
2
2
2
2
2
2
第7题图
【答案】解：(1)EN＝MF；
【解法提示】如解图①，连接DE、DF， ∵D、E、F是等边△ABC三边中点，
∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∵△DMN为等边三角形，∴DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴∠MDF＝∠NDE＝60°＋∠NDF， ∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝MF.
图① 图②
第7题解图
(2)成立．
证明：如解图②，连接DE、DF和EF， ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC. 又∵D，E，F是三边的中点， ∴DE，DF，EF为三角形的中位线， ∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°.
又∵∠MDF＋∠FDN＝60°， ∠NDE＋∠FDN＝60°， ∴∠MDF＝∠NDE.
DF＝DE，??在△DMF和△DNE中，?∠MDF＝∠NDE，
??DM＝DN，∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝FM； (3)画出图形如解图③，
第7题解图③
MF与EN相等的结论仍然成立(或EN＝MF成立)．
【解法提示】如解图④，连接DE、EF、DF.
第7题解图④
∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，且△ABC是等边三角形，∴△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°. ∵△DMN是等边三角形， ∴DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴∠MDF＋∠MDE＝∠MDE＋∠NDE， ∴∠MDF＝∠NDE， ∴△MDF≌△NDE(SAS)， ∴MF＝NE.
例8．已知，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P是对角线BD上的动点，连接AP，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F.
(1)发现问题
如图①，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB互余时，线段BE、MF与AB的数量关系为__________； (2)解决问题
如图②，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸
在(2)的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE∶AF＝2∶3，EF＝85，求DG的长．
第8题图
11
【答案】解：(1)BE－MF＝AB；
22
【解法提示】如解图①，取AB的中点N，连接PN、PM.
第8题解图①
∵∠PBA与∠PAB互余， ∴∠PBA＋∠PAB＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴∠APD＝90°，
∵N是AB的中点，M是AD的中点， 11
∴PN＝BN＝AN＝AB，AM＝DM＝PM＝AD，
22∴∠NAP＝∠NPA，∠MAP＝∠MPA. ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC. ∵BC＝2AB， ∴AD＝2AB， ∴
AB1
＝， AD2
而∠NAP＋∠MAP＝∠BAD＝90°， ∴∠NPA＋∠MPA＝90°，即∠NPM＝90°. ∵∠EPF＝90°， ∴∠NPM＝∠EPF，
∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM， ∴∠NPE＝∠MPF.
∵∠ABP＋∠BAP＝90°，∠BAP＋∠DAP＝90°， ∴∠ABP＝∠DAP. ∵PN＝BN，AM＝PM，
∴∠ABP＝∠BPN，∠DAP＝∠MPA， ∴∠ENP＝∠FMP， ∴△PNE∽△PMF， 1ABNEPN21∴＝＝＝. MFPM12
AD21
∴NE＝MF，
2∵BE－NE＝BN， 1
∴BE－MF＝BN，
21
又∵BN＝AB，
211∴BE－MF＝AB.
22(2)不成立；
理由如下：如解图②，取AB的中点N，连接PN、PM，
第8题解图②
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠PBA＝∠PAB， ∴PA＝PB， ∵N是AB的中点，
∴PN⊥AB， ∴∠ANP＝90°，
∵∠PAB＋∠PAD＝90°，∠PBA＋∠PBC＝90°， ∴∠PAD＝∠PBC， ∴∠PAD＝∠PDA， ∴PA＝PD. ∵M是AD的中点， ∴PM⊥AD， ∴∠PMA＝90°， ∴四边形PMAN是矩形，
∴∠NPM＝90°，AN＝PM，PN＝AM. ∵∠EPF＝90°， ∴∠NPM＝∠EPF，
∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM， ∴∠NPE＝∠MPF. ∵∠PNE＝∠PMF＝90°， ∴△PNE∽△PMF， 1ADNEPN2∴＝＝. MFPM1
AB2∵AD＝2AB， ∴NE＝2MF. ∵BE－NE＝BN， ∴BE－2MF＝BN， ∵N是AB的中点， 1
∴BN＝AB，
2
1
∴BE－2MF＝AB，故(1)中结论不成立；
2
(4) 如解图③，延长CD交FG于点H，设BE＝2a，则AF＝3a.
第8题解图③
1
∵BE－2MF＝AB，
21
∴BE－2(AF－AM)＝AB.
2∵AM＝AB，
1
∴2a－2(3a－AB)＝AB，
28∴AB＝a，
3
1627∴AD＝a，AE＝a，FD＝a.
333∵AE＋AF＝EF， 2222
∴(a)＋(3a)＝(85)， 3解得a1＝3，a2＝－3(舍去)．
∴AE＝2，BE＝6，AF＝9，DF＝7，BD＝85. ∵HD∥AB， ∴△AEF∽△DHF， ∴∴
2
2
2
DHDF＝， AEAFDH7
2＝， 9
14∴DH＝. 9
∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，即HD∥BE. ∴△GDH∽△GBE， ∴
DGDH＝， BGBE149DG∴＝， DG＋856145∴DG＝.
5
例9．如图①，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB中，AC＝BC，DE＝BD，∠ACB＝∠EDB＝90°，P为AE的中点． (1)观察猜想
连接PC、PD，则线段PC与PD的位置关系是________，数量关系是________； (2)探究证明
如图②，当点E在线段AB上运动时，其他条件不变，作EF⊥BC于F，连接PF，试判断△PCF的形状，并说明理由； (3)拓展延伸
在点E的运动过程中，当△PCF是等边三角形时，直接写出△ACB与△EDB的两直角边之比．
第9题图
【答案】解：(1)PC⊥PD，PC＝PD；
【解法提示】如解图①，过点E作EF⊥BC于F，过点P作PH⊥BC于H，连接PF，
第9题解图①
易得四边形EFBD是正方形， ∴EF＝ED，∠DEB＝∠FEB＝45°， ∴∠PEF＝∠PED＝135°， 在△PEF和△PED中，
EF＝ED??
?∠PEF＝∠PED， ??PE＝PE∴△PEF≌△PED(SAS)， ∴PF＝PD，∠EPF＝∠EPD， ∵AC∥PH∥EF，点P为AE的中点， ∴点H是FC的中点， ∴CH＝HF，
又PH⊥BC，∴PC＝PF，
故△PCF是等腰三角形，∴∠CPH＝∠FPH， ∴PC＝PD；
∵∠HPB＝∠HPF＋∠EPF＝45°，
∴∠CPD＝∠CPH＋∠HPF＋∠EPF＋∠EPD＝2(∠HPF＋∠EPF)＝90°， ∴PC⊥PD.
(2)△PCF为等腰三角形，
理由如下：如解图②，过点P作PH⊥BC于点H，
第9题解图②
则AC∥PH∥EF， ∵P为AE的中点，
∴点H是FC的中点，∴CH＝HF， 又PH⊥BC， ∴PC＝PF，
∴△PCF为等腰三角形； (3)3＋2.
【解法提示】如解图③，过点E作EF⊥BC于点F，过点P作PH⊥BC于点H，由(1)知，四边形BDEF为正方形，设EF＝
BF＝BD＝x，HF＝y，
第9题解图③
∵△PCF是等边三角形， ∴PH＝3y， ∵PH∥EF， ∴△BEF∽△BPH， ∴
EFBFxx＝，即＝， PHBH3yx＋y3＋1
x， 2
解得y＝
∴BC＝x＋2y＝(3＋2)x， ∴
BC（3＋2）x＝＝3＋2. BDx∴△ACB与△EDB的两直角边之比为3＋2.
例10．已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于F，点H是线段AF上一点．
(1)初步尝试
如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，过点D作DG∥BC交AC于点G，则GH与AH的数
量关系是________，GF与FC的数量关系是________，
(2)类比探究
AC的值是________； HF如图②，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠A＝30°，且点D，E的运动速度之比是3∶1，求的值； (3)延伸拓展
如图③，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠A＝36°，记接写出结果，不必写出解答过程)
ACHFBCAC＝m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示.(直ABHF
第10题图
【答案】解：(1)GH＝AH，GF＝FC，2； 【解法提示】∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∴∠ADG＝∠AGD＝∠A，
∴△ADG是等边三角形，∴GD＝AD＝CE， ∵DH⊥AC，∴GH＝AH， ∵DG∥BC，
∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF， 在△GDF和△CEF中， ∠GDF＝∠CEF??
∵?GD＝CE， ??∠DGF＝∠ECF∴△GDF≌△CEF(ASA)， ∴GF＝CF，
1
∴GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AC，
2∴
AC＝2. HF(2)如解图①，过点D作DG∥BC，交AC于点G，
第10题解图①
则∠ADG＝∠B＝90°，
∵∠A＝∠ADH＝30°，∴∠HGD＝∠HDG＝60°， ∴△DHG是等边三角形， ∴AH＝GH＝GD，AD＝3GD， 根据题意得AD＝3CE，∴GD＝CE，
∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF， 在△GDF和△CEF中，
∠GDF＝∠CEF??
∵?GD＝CE，∴△GDF≌△CEF(ASA)， ??∠DGF＝∠ECF∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋CF， 1AC即HF＝AC，∴＝2；
2HF(3)＝
ACm＋1
.
HFm【解法提示】如解图②，过点D作DG∥BC，交AC于点G，
第10题解图②
则∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，AD＝EC， ∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝∠ADG＝∠AGD＝72°， ∵∠ADH＝∠A＝36°，
∴AH＝DH，∠DHG＝72°＝∠AGD， ∴DG＝DH＝AH，
∴△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，
∴△DGH∽△ABC，∴＝＝GHBCDGGH＝m，∴＝m，
DGABADAHGFDGFCCE∵DG∥BC，∴△DFG∽△EFC，∴＝， 又∵CE＝AD，∴＝＝m，∴＝∴∴
DGDGCEADGFDG＝m，
FCCEGH＋GFHFAH＋FC1
＝＝m，∴＝， AH＋FCAH＋FCHFmACAH＋FC＋HF1m＋1＝＝＋1＝. HFHFmm
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