定义新运算之复杂运算与抽象运算
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。因此规定的运算符号，只是在形式上不同，只要适应这个符号就可以了，我们关键是要从运算表达式中找出规定的运算符号所表示的运算法则，进而用这个法则进行解题。
如规定：a?b?ab?a?b 2?4?2?4?2?4?6 4?2?4?2?4?2?10
一般情况下规定的新运算对于我们熟悉的运算律(如交换律、结合律、分配律等)不成立，但也有成立的，这就要求我们去证明。
定义新运算一般分为两种：
1.根据题目给的新的运算法则，进行运算，即从前往后推； 2.已知运算结果和运算法则，推出前面的数，即从后往前推。
【例1】如果a□?a?(a?1)，a□□?a□?(a□?1)，…，那么1□□□? 。
【巩固】(2008年“希望杯”五年级一试)若规定a＊b?a?b÷a，那么(1＊2)＊3? 。
【例2】设M、N都是自然数，记PM是自然数M的各位数字之和，PN是自然数N的各位数字之和。又
记M＊N是M除以N的余数。已知M?N?4084，那么(PM?PN)＊9的值是__________。
【巩固】定义a＊b为a与b之间(包含a、b)所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7＊14?
(7?9?11?13)÷4?10，18＊10?(18?16?14?12?10)÷5?14。在算术□＊(19＊99)?80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？
【例3】x、y表示两个数，规定新运算“★”及“△”如下：x★y?mx?ny，x△y?kxy，其中m、n、
k均为非零自然数，已知1★2?5，(2★3)△4?64，求(1△2)★3的值。
【巩固】(北京市第十届“迎春杯”刊赛第39赛)对于任意的整数x与y定义新运算“△”，x△
6gxgyy? (其中m是一个确定的整数)，如果1△2?2，则2△9? 。
mx?2y
【例4】对于任意的两个自然数a和b，规定新运算＊：a＊b?a(a?1)(a?2)…(a?b?1)，其中a、
b表示自然数。如果(x＊3)＊2?3660，那么x等于几？
【巩固】对于任意的两个自然数a和b，规定新运算＊：a＊b?a?(a?1)?(a?2)?…?(a?b?1)，
其中a、b表示自然数。
⑴求1＊100的值；
⑵已知x＊10?75，求x为多少？
⑶如果(x＊3)＊2?121，那么x等于几？
【例5】定义运算：a?b?a?b?⑴定义的运算是否满足交换律？ ⑵请根据定义计算下面两个算式： ①2009?(2009?2008)；
?L?420092008)?(2009②200914442443?2008?(2009144?444?4L24444?42008)43。
2009个20092008个2009?2008a?b。请问： 2008?L?420092008)?(2009⑶计算200914442443?(2?2008)?(2009144?444?4L24444?42008)43的大小。
2009个20092008个2009?2008
【巩固】如果a、b、c是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ⑴a?b?b?a
⑵(a?b)?c?a?(b?c)
现在规定一种运算“＊”，它对于整数a、b、c、d满足： (a，b)＊(c，d)?(a?c?b?d，a?c?b?d)。
例：(4，3)＊(7，5)?(7?4?5?3，7?4?5?3)?(43，13)。 请你举例说明，“＊”运算是否满足结合律。
〖答案〗
【例 1】42
【巩固】4
【例 2】7
【巩固】100和101
【例 3】10 【巩固】4
10 11
【例 4】3
【巩固】⑴5050，⑵3，⑶19
【例 5】⑴满足交换律，⑵①0，②2008，⑶2007
【巩固】*运算不满足结合律
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