2014-2015 概率论与数理统计试卷 A参考答案

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东莞理工学院（本科）试卷（A卷）

2014 --2015 学年第一学期

《概率论与数理统计》评分标准

开课单位：计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场

题序 一 二 三 四 总 分 得分 评卷人 一、选择题（每小题2分，共30分）

1．设A,B为两个相互独立的随机事件，且P(A)?0.6,P(B)?0.5，则必有P(AB)?【 B 】;

(A) 0.6 (B) 0.3 (C)0.2 (D) 0.1

2．袋中共有6只球,其中4只白球,2只红球.从中抽取两只,如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为【 B 】;

(A) 7/15 (B) 8/15 (C) 5/9 (D) 4/9

3．在区间[0,1]上任取三个数,则这三个数之和小于1的概率为【 C 】;

(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/6 (D) 1/24

4.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0

(A) 3p(1?p)2． (B) 6p(1?p)2.

(C) 3p2(1?p)2． (D) 6p2(1?p)2． 5. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则E(X2)?【 C 】；

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

6．抛掷两颗骰子,用X和Y分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为【 B 】； (A) 4/36 (B) 5/36 (C) 6/36 (D) 7/36 7．随机变量X的期望和方差分别表示X取值的【 A 】;

A．平均值，离散程度 B．平均值，平均程度

;.'

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C．绝对值，离散程度 D．相对值，平均程度

?k(x?x2),0?x?18. 设随机变量X的概率密度为f?x???，则常数k= 【 D 】

0, 其它?(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6. 9. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，对于任意实数x有【 C 】

(A)0?F(x)?1； （B）0?f(x)?1； (C)0?F(x)?1； (D)0?f(x)?1

10. 设X与Y为任意二个随机变量，若已知?XY?0,则必有【 D 】 (A) X与Y相互独立； (B) X与Y不独立； (C) X与Y相关； (D) X与Y不相关.

11.设相互独立的随机变量X和Y的方差都是1，则随机变量5X?2Y的方差是【 D 】

A．3

212．已知随机变量X与Y相互独立，且X~?(10)，Y~?(20),则2X/Y服从分布

2 B．7 C．21 D．29

【 D 】; (A)

F(9,29) (B) F(19,9) (C) F(20,10)

N(?,?2),参数?2已知, ?未知,X1,X2,(D)

F(10,20)

13.设总体X,Xn是来自总体X的样本,

则?的极大似然估计量为【 B 】; (A)

???1X (B) ???X2 (C)

???3X 2 (D)

??2X?

14. 设X1,X2,X3,X4是来自均值为?的指数分布总体的样本，其中?未知，则下列估计量中最有效的?的无偏估计的为【 D】；

1(X1?X2) 411C. T3?(X1?X2?X3) D. T4?(X1?X2?X3?X4)

34A. T1?X1 B. T2?15．单个正态总体的方差未知时,均值的假设检验中选择的检验统计量为【 B】. (A)

Z?X??0?/n2?0 (B)

t?X??0S/n

(C)

?2?(n?1)S2 (D)

S12F?2S2

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二、填空题（每空2分，共30分）

1. 设A,B为两个随机事件，且P(A)?0,P(AB)?P(B)，

则必有P(B|A)? 1 .

2. 掷两颗骰子,则两颗骰子点数不同的概率为_5/6__．

3. 在一次试验中，事件A发生的概率为0.5，现进行3次独立重复试验，则A不发生的概

率为 0.125 .

4. 已知随机变量XB(100,0，且随机变量Y?2X?1，则E?Y?? ______21____,D?Y?? ______72__．

5. 设随机变量X的密度函数为f?x????3x2,0?x?1，则P?X?1??0,其它??2??? 1/8 ;又设用Y表示对X的2次独立重复观察中事件??X?1??2??出现的次数，则P?Y?1?? 732 .

6. 设二维随机变量?X,Y?的分布列为

Y X 0 1 0 0.3 0.2 1 a 0.1 则a? 0.4 ,E(Y)? 0.3 .

7. 设X1,X2,,X10是取自总体N(0,1)的样本，则统计量

Y?X221?X2??X2_____?25服从(5)__分布,

X22T?1?X2??X25X2X26?7??X2服从_____F(5,5)__分布. 108. 设X1,...,X10及Y1,...,Y20分别是总体N(10,10)的容量为10，20的两个独立样本，

X,Y分别为样本均值，S221,S2分别为样本方差.则：X~ N(10,1) ，

X?Y~ N(0,3/2) ，p?X?Y?21.5?= 0.0456 ，19S22102~?(19). 此题中?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.9987

;.'

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三、计算题（共18分）

1．（10分）设随机向量(X,Y)的密度函数为：

?2x,0?x?1,0?y?1, f(x,y)??0,其它.?（1）求分量X和Y的密度函数fX(x)及fY(y);（4分）

（2）求概率P?X?Y?1?；（2分） （3）求E(X),D(X).（4分）

解 令D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1},G?{(x,y)|0?x?1,0?y?1?x}.

时,fX(x)?（1）当x?0或x?1当0?x?1时,fX(x)??????f(x,y)dy?0,

1?????f(x,y)dy??2xdy?2x.

0?2x,0?x?1,因此, fX(x)?? (2分)

0,其它.?当y?0或y?1时,fY(y)?当0?y?1时,fY(y)??????f(x,y)dx?0,

10?????f(x,y)dx??2xdx?1.

?1,0?y?1,因此, fY(y)?? (2分)

0,其它.? （2）P?X?Y?1?? （3）E(X)?或 E(X)?2??Gf(x,y)dxdy??2xdx?011?x01dx??2(x?x2)dy?; (2分)

031??xf(x,y)dxdy?D2 3?????2xfX(x)dx??2x2dx?; (2分)

03111231E(X)???xf(x,y)dxdy??2xdx?dy?.

2R00或 E(X)?13xf(x)dx?2xdx?; ( 1分) ???X?02141D(X)?E(X2)?[E(X)]2???. (1分)

29182??212．(8分)设总体X的密度函数为

??x??1, 0?x?1; f?x;????

.?0, 其它其中????0?为待估参数，设X1,X2,;.'

,Xn是取自X的一个样本，求?的矩估计量与最

;.

大似然估计量．

解 总体X的一阶原点矩为

?1?E?X???x?x??1dx?01???1，(2分)

令A1??1，可求得参数?的矩估计量为??设x1,x2,A1X?．(2分) 1?A11?X,xn是一个样本值，则似然函数为

L????对数似然函数为

??xi?1n??1i??n?x?ii?1n?1 ，

lnL????nln??(??1)?lnxi?1ni，(2分)

??对参数?求导??lnL?????，并令??lnL??????0得

n?n??lnxi?0，

i?1n解此方程得???n?lnxi?1i．

所以，参数?的最大似然估计量为???n?lnXi?1ni. (2分)

四、应用题（共22分）

1.（8分）已知一批产品中有95％是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.01，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率. 解：(1)设A表示抽得的产品的合格品, B表示抽得的产品被判为合格品,则

P(A)?0.95,P(B|A)?0.02,P(B|A)?0.01.(1分)

由全概率公式，得

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)(1分)(2分)

?0.95?(1?0.02)?(1?0.95)?0.01?0.9315;(2)P(A|B)?

P(AB)P(A)P(B|A)0.931???0.9995. (4分)

P(B)P(B)0.9315;.'