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第10讲 立体几何趣题——
正多面体拼接构成新多面体面数问题
教学目标： 训练学生空间想象能力，动手动脑能力，提高学习数学兴趣
教学过程： 一、问题提出
在《数学(高二下册)》“立体几何多面体”一节的课堂教学中，老师给出了一道例题：“已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等，把它们拼接起采，使一个表面重合，所得的新多面体有多少个面?”对于这个问题学生们表现出了极大的兴趣．他们通过直观感知，提出了自己的看法：正四面体和正八面体共12个面，两者各有一个面重叠，因此减少两个面，所以重合之后的新多面体有10个面． 二、故事介绍
教师乘着学生浓厚的兴趣讲了一个与这道例题有关的故事．多年前美国的一次数学竞赛中有这样一道题：一个正三棱锥和一个正四棱锥，所有棱长都相等，问重合一个面后还有几个面?大学教授给这道竞赛题的参考答案是7个面，他们认为正三棱锥和正四棱锥共9个面，两者各有 一个面重叠，减少两个面，所以重合之后还有7个面。但佛罗里达州的一名参赛学生丹尼尔的答案是5个面，与参考答案不合而被判错误，对此丹尼尔一直有所疑惑，于是他动手拼接了符合题意的正三棱锥和正四棱锥实物模型，结果正如他所判断的只有5个面；他将自己的结论和实物模型提交给竞赛组委会，教授们接受了他的想法并改正了这道题的答案。 三、操作确认
故事讲完后学生立刻对丹尼尔的结论进行了激烈地讨论．于是教师建议：请同学们拿出课前分组做出上述两个问题的实物模型，通过自己的操作(模型组合)来确认自己的结论．学生展示大小不一的实物模型．教师让每个组的学生代表在讲台上演示实物模型的组合过程．通过观察、讨论，全班同学明白丹尼尔结论的原因所在．同时也观察到了正四面体和正八面体重合之后新多面体只有七个面，这与学生们在上一节课
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通过直观感知所得的结论是不一致的。原因在于他们发现在重合过程中正四面体和正八面体另有两个侧面分别拼接成一个面了． 四、思辩论证
老师要求学生利用立体几何的相关知识，对操作实物模型得出的结论进行证明。学生对照实物模型提出了证明思路：将正八面体和正四面体拼接的两个侧面想象成两个半平面拼接成一个平面即表示这两个半平面所构成的二面角为180?．证明如下：如图1，在正八面体AC中，连结AC交平面BE于点O．设正八面体的棱长为1，BF的中点为D，连结AD、CD，易得∠ADC为二面角A―BF―C的平面角。AD=DC=
3131,AC=2AO=2??2,由余弦定理得COS?ADC??。 23441仿上可求得正四面体邻棱所成的二面角?的余弦值为。
3由上可知???ADC?180?，因此新多面体是七面体。 五、问题扩展
理论证明的给出进一步完善了学生对问题的全面理解，同时也激发了学生的多向思维．证明结结束后，立刻就有学生向老师提出了问题： 如果再拼一个同样的正四面体，又有多少个，又有多少个面呢？面对学生的问题，教师立刻利用学生的实物模型进行操作确认，从而发现新多面体的面数并不确定，而是依赖于拼接四面体在八面体上的位置．进一步，当拼接更多的四面体时问题更复杂了，但却激发了学生更大的兴趣．在激烈地争论中，师生的思考一度陷入僵局．余是老师提出能否看看不同情况下新多面体可能新多面体最少面数．这一问题得到了学生的认可，新一轮实物模型的操作确认开始，很快学生得出了结论：当两个正四面体时，新多面体最少为6个面，构成一个六面体(如图2)．
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当拼接三个正四面体时，新多面体最少为5个面，构成一个棱台如图(3)．
当拼接四个正四面体时，新多面体最少为4个面构成一个正四面体(如图4)．
本节小结：学习数学不要只靠我们的直觉，而要有推理论证检验。
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第11讲 立体几何趣题—— 球在平面上的投影
教学目标：明白球在不同光照下的投影 教学过程：放在水平面上的球与水平面切于点A，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点A与轮廓曲线的关系又是什么?
一、平行光线下球的投影
放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点止，与水平面所成角为?(??90?)的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为 一个焦点的椭圆．
分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即??90?时，球在水平面上的投影是以为A圆心，R为半径的圆；当00???900时，球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图1．
如图l所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆O，则光线在水平面上的投影，可以看成圆柱面与水平面的交线l1， 设与水平面平行且与球相切的平面?与球相切于点D，与圆柱面的交线为l2；P为l1上的任意一点，经过点P的
光线为PP’，(P’，为光线PP’与平面?的交点)，且与球相切于点C，过点D作与光线平行的直线交水平面于点B，连结PB,易知，PB=P'D=P’C，PA=PC,即知PA+PB=PP’, 又
2R2RPPsin?为一定值，则知点P在以A,B为焦点，长轴长为sin?的椭圆上，
’ =
二、点光源下的球的投影
放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A，与水平面距离为h的点光源S(S
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在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的圆锥曲线或以A为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及SA与水平面所成角有关． 1．当过点S，球心O的直线与水平面垂时，此时必有h>2R．球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆(图略)，
2．当过点S、球心O的直线与水平面不垂直时． ①若h>2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图2．
如图2所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆O3；球O1与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆O2，与水平面
的切点为B；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P的光线与球O、O1的切点分别为D，C，则有PC=PB、PD=PA，易知CD为两圆锥母线之差(为一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A、B为焦点的椭圆.
②若h=2R,则球在水平面上的投影是以A为焦点的抛物线，如图3． 如图3所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆Ol； 过S、O，A的平面与水平面交于AG；圆Ol所在的平面?与水平面的交线为L；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P与?平行的平面与圆锥面交于圆O2所以，球在水平面上的投影是以A为焦点，L为准线的抛物线．
3若h<2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的双曲线的一支，如图4． ○
如图4所示，与球O相切的光线构成一个圆 锥面．设切点的集合为圆02；球Ol与圆锥面及
水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03， 与水平面的切点为月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球O、Ol的切点分 别为G、打，则有PH二PB、PG二PA，且易知GH为两圆锥母线之和(为一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B为焦点的双曲线的一支．
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