第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
[基础题组练]
1．给出下列四个命题： 3π
①－是第二象限角；
4②
4π
是第三象限角； 3
③－400°是第四象限角； ④－315°是第一象限角． 其中正确的命题有( ) A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
3π4ππ4π
解析：选C.－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②
4333正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析：选B.由题意知tan α＜0，cos α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.
3．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π
42 2
B.π 2
C.D．2
解析：选D.设圆的直径为2r，则圆内接正方形的边长为2r， 因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长， 所以圆弧的长度为2r， 所以圆心弧度为
2rr＝2.
4．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( ) A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} 3π
B．{α|α＝k·2π＋，k∈Z}
4
1
3π
C．{α|α＝k·180°＋，k∈Z}
4π
D．{α|α＝k·π－，k∈Z}
4
3π
解析：选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2nπ＋，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－
4π
，n∈Z} 4
ππ
＝{α|α＝(2n＋1)π－，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－，n∈Z}
44π
＝{α|α＝kπ－，k∈Z}．
4
5．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是 ．
解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.
答案：220° 6．函数y＝
sin x－
3
的定义域为 ． 2
333
≥0即sin x≥.作直线y＝交单位圆于A，B两点，222
解析：由题意可得sin x－
连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件π2π
的角x的集合为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
33
π2π??答案：?2kπ＋，2kπ＋?，k∈Z
33??
1
7．(2020·许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，
5则tan α＝ ．
解析：因为α是第二象限角， 1
所以cos α＝x＜0，即x＜0.
5
2
1x又cos α＝x＝2，
5x＋16
44
解得x＝－3，所以tan α＝＝－.
x34
答案：－
3
8．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值．
解：因为角θ的终边过点(x，－1)(x≠0)， 1
所以tan θ＝－，又tan θ＝－x，
x所以x＝1，所以x＝±1. 当x＝1时，sin θ＝－
22，cos θ＝， 22
2
此时sin θ＋cos θ＝0； 当x＝－1时，sin θ＝－
22
，cos θ＝－， 22
此时sin θ＋cos θ＝－2.
[综合题组练]
︵︵︵︵22
1．(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆x＋y＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α ︵A.AB ︵C.EF ︵B.CD ︵D．GH 解析：选C.设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得 所以P所在的圆弧是EF，故选C. 3ππ 2．若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大 42小是( ) 3 yxA．sin α＜tan α＜cos α C．sin α＜cos α＜tan α B．cos α＜sin α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α 3π 解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为－＜α4π＜－，所以角α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT＞OM＞MP，故有sin α＜cos α2＜tan α. 2π2π??3．已知角α的终边上一点P的坐标为?sin ，cos?，则角α的最小正值33??为 ． 2π3 解析：由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin ＝，故32 α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为 11π 答案： 6 π611π . 6 4．(综合型)若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为 ． 12αr21 解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝， 124αR22r＋αr所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2. 2R＋αR答案：1∶2 4 5
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