高中数学函数知识点总结
1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y?x?4?x?lg?x?3?2的定义域是 （答：?0，2???2，3???3，4?）
函数定义域求法： ? 分式中的分母不为零； ? 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ? 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ? ? ?
???正切函数y?tanx ?x?R,且x?k??,k???
2??余切函数y?cotx ?x?R,且x?k?,k??? 反三角函数的定义域
，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，
函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是
值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，
值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？
，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定 如：函数f(x)的定义域是?a，b?义域是_____________。 （答：a，?a）
复合函数定义域的求法：已知y?f(x)的定义域为?m,n?，求y?f?g(x)?的定义域，可由m?g(x)?n解出x的范围，即为y?f?g(x)?的定义域。
?1?例 若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(log2x)的定义域为 。
?2???11?1?分析：由函数y?f(x)的定义域为?,2?可知：?x?2；所以y?f(log2x)中有?log2x?2。
22?2?解：依题意知：
1?log2x?2 2 解之，得 2?x?4 ∴ f(log2x)的定义域为x|2?x?4
4、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
??例 求函数y=
1的值域 x2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x2-2x+5，x?[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
b型：直接用不等式性质k+x2bxb. y?2型,先化简，再用均值不等式x?mx?nx11 例：y???121+x2x+xx2?m?x?n?c.. y?2型 通常用判别式x?mx?nx2?mx?nd. y?型 x?n 法一：用判别式a. y? 法二：用换元法，把分母替换掉2x2?x?1（x+1）?（x+1）+1 1 例：y???（x+1）??1?2?1?1x?1x?1x?1
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x?4例 求函数y=值域。
5x?6
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
ex?12sin??12sin??1例 求函数y=x，y?，y?的值域。
e?11?sin?1?cos?ex?11?yy?x?ex??01?ye?12sin??11?yy??|sin?|?||?1,1?sin?2?y2sin??1y??2sin??1?y(1?cos?)1?cos?2sin??ycos??1?y4?y2sin(??x)?1?y,即sin(??x)?1?y4?y2
1?y4?y2又由sin(??x)?1知?1解不等式，求出y，就是要求的答案6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=2
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。
例 求函数y=x+x?1的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，
x?5?log3x?1（2≤x≤10）的值域
y的取值范围x?2 (2)y-2x的取值范围y 解:(1)令?k,则y?k(x?2),是一条过(-2,0)的直线.
x?2 (1) d?R(d为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2x?b,即y?2x?b?0,也是直线d d?R 例求函数y=
(x?2)2+
(x?8)2的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P在线段AB上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）
例求函数y=
x2?6x?13+
x2?4x?5的值域
2解：原函数可变形为：y=
(x?3)?(0?2)+
2(x?2)2?(0?1)
2
上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当
点P为线段与x轴的交点时， ymin=∣AB∣=故所求函数的值域为[43，+∞）。 注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法
(3?2)2?(2?1)=43，
2利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥33abc（a，b，c∈R），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
2例：
x2?(x?0) x? =x2?1111??33x2???3xxxx (应用公式a+b+c?33abc时，注意使3者的乘积变成常数）
x2(3-2x)(0 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y= x?2的值域 x?3x?2x?3x?2?0时，1x?2?1??x?2?yx?2y?x?2?0时，y=0?0?y?121x?2?2?0?y?1 2多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯 我当年的错误，与到手的满分失之交臂 如：f?x?1?ex?x，求f(x). ? 令t?x?1，则t?0 ∴x?t2?1 ∴f(t)?et2?1?t2?1 ?x2?1?x?0? ∴f(x)?ex2?16. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域） ??1?x 如：求函数f(x)??2???x?1?x?0?的反函数 ?x?0? ??x?1?x?1?（答：f(x)??） ????x?x?0?在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看 这个例题： (2004.全国理)函数y?x?1?1(x?1)的反函数是（ B ） A．y=x2－2x+2(x<1) C．y=x2－2x (x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1) D．y=x2－2x (x≥1) 当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路： 原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B. 我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？ 7. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y） 2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x） 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称 ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； ③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f?1(b)?a ?f?1?f(a)??f?1(b)?a，ff?1(b)?f(a)?b ??
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