直线AB，①斜率存在，设斜率为k，则y＝k（x﹣1），与C联立可得ky2﹣4y﹣4k＝0，∴|AB|＝
?
＝4（1+
），
设点E存在，并设为E（x0，y0）， 则|EM|?|EN|＝
（y0﹣y1）
（y2﹣y0）＝（1+
）[﹣y1y2﹣y02+（y1+y2）y0]
＝（1+）（16﹣y02+），
∵＝4，
∴16﹣y02+＝16，
解得y0＝0，y0＝（不是定点，舍去），
则点E（4，0），经检验，此点满足y2＜4x，所以在线段MN上，
②若斜率不存在，则|AB|＝4，|EM|?|EN|＝4×4＝16，此时点E（4，0）满足题意， 综上所述，定点为（4，0） 20．椭圆
的离心率是
，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，
．
椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由已知椭圆过点，可得，
解得a2＝9，b2＝4所以椭圆的E方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）
由消去y得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，
所以当k≠0时，
设过点C且与l垂直的直线方程
．
，
将M（m，0）代入得：，
若k＞0，则若k＜0，则所以
或
，
，
当k＝0时，m＝0
综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是
．
21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点． （1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值； （2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求
的最大值；
（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±
＝
+
+
+
，求点G的轨迹方程．
，可得2＝6，解得p＝；
（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0）， 设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα， 联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+
＝0，
由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1， 可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°， 由抛物线的定义可得
＝
＝
，而α的最小值为45°，
的最大值为；
（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），
设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0， 即有x1+x2＝2+
，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，
由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得 x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k， 点G满足4
＝
+
+
+
，
可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4）， 即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+， 可得y2＝（k﹣）2＝k2+
﹣2＝x﹣2，
，
则G的轨迹方程为y2＝x﹣2． 22．已知函数
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得
若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）f′（x）＝xlnx﹣alnx+a﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），x∈（0，+∞）， ①当a≤0时，由f′（x）＞0，解得x＞e，由f′（x）＜0，解得0＜x＜e， ∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增， ②0＜a＜e时，令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝e，
由f′（x）＞0，解得0＜x＜a，或x＞e，由f′（x）＜0，解得a＜x＜e， ∴f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增， ③当a＝e时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
④当a＞e时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，或x＞a，由f′（x）＜0，解得e＜x＜a，∴f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增．
，对x∈[1，+∞）恒成立？
．
（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin则f（1）＝2a﹣＞3+sin设g（x）＝8x﹣sin则g′（x）＝8﹣
﹣15， cos
＞0，
，即8a﹣sin
对x∈[1，+∞）恒成立，
﹣15＞0，
则g（x）单调递增， ∵g（2）＝0， ∴a＞2，
当a＝e时，f（x）在[1，+∞）上单调递增， ∴f（x）min＝f（1）， ∴a＞2，从而a＝e满足题意，
当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在[1，a），（e，+∞）上单调递增，
∴，
∴，（*），
设h（x）＝4ex﹣sin则h′（x）＝4e﹣则h（x）单调递增，
﹣e2﹣12， cos
＞0，
∵h（2）＝8e﹣e2﹣13＞0，
∴h（x）的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为（2，+∞）， ∴2＜a＜e，
综上，存在a∈（﹣∞，e]，使得取值范围为（2，e]．
，对x∈[1，+∞）恒成立，且a的
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