第三节 函数的奇偶性与周期性
A级·基础过关|固根基| 1.下列函数为奇函数的是( ) A．f(x)＝x＋1 C．f(x)＝e
3
3
1－xB．f(x)＝ln
1＋xD．f(x)＝xsin x
x解析：选B 对于A，f(－x)＝－x＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln
1＋x1－x－x＝－ln＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e≠－f(x)，所以其不是1－x1＋x奇函数；对于D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.
9＋1
2．函数f(x)＝x的图象( )
3A．关于x轴对称 C．关于坐标原点对称
xxB．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
9＋1x－x解析：选B 因为f(x)＝x＝3＋3，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于
3
y轴对称．
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x，则f(2 019)等于( )
A．－2 C．－98
B．2 D．98
2
解析：选B 由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 由－1∈(－2，0)，得f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2.
4．(2019届福建龙岩模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)．若f(－1)>1，f(5)＝a－2a－4，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3) C．(－3，1)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
2
解析：选A 由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a－2a－4.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，所以f(1)<－1，所以a－2a－4<－1，解得－1 5．(2019届山东济南模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是( ) 2 2 A．[－3，1] B．[－4，2] C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－4]∪[2，＋∞) 解析：选A 因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．由f(m＋2)≥f(x－1)且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|对任意的x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1. 6．若函数f(x)＝xln(x＋ a＋x)为偶函数，则a＝________. 解析：由于f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x)为奇函数，所以ln(x＋a＋x)＋ln(－ 2 2 2x＋a＋x2)＝0， 则ln(a＋x－x)＝0，所以a＝1. 答案：1 2 2 ?5?x7．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4，则f?－??2? ＋f(2)＝________． 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0. 又f(x)在R上的周期为2，∴f(2)＝f(0)＝0. ?5??1??1?又f?－?＝f?－?＝－f??＝－42＝－2， ?2??2??2??5?∴f?－?＋f(2)＝－2. ?2? 答案：－2 8．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－________． 1 解析：由f(x)＝ln(1＋|x|)－2，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即 1＋x为f(|x|)＞f(|2x－1|)． 1 当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－2，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|) 1＋x12 ＞f(|2x－1|)，得|x|＞|2x－1|，两边平方得3x－4x＋1＜0，解得＜x＜1. 3 1 2，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是1＋x1 ?1?答案：?，1? ?3? －x＋2x，x＞0，?? 9．已知函数f(x)＝?0，x＝0，是奇函数． ??x2＋mx，x＜0(1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x＜0，则－x＞0， 所以f(－x)＝－(－x)＋2(－x)＝－x－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 于是当x＜0时，f(x)＝x＋2x＝ 22 2 2 x2＋mx，所以m＝2. ??a－2＞－1， (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知?所以1＜a≤3， ?a－2≤1，? 故实数a的取值范围是(1，3]． ?3??3?10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f?＋x?＝－f?－x?成立． ?2??2? (1)证明：y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值； (3)若g(x)＝x＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值． 2 ?3??3?解：(1)证明：由f?＋x?＝－f?－x?， ?2??2? ?3??3??3?且f(－x)＝－f(x)，得－f?－x?＝f?x－?＝f?＋x?，可得f(3＋x)＝f(x)， ?2??2??2? 所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期． (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2， 又T＝3是y＝f(x)的一个周期， 所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. (3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数， 且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数，故g(x)＝x＋ax＋3为偶函数，所以a＝0. B级·素养提升|练能力| 2 11.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e，则g(x)＝( ) A．e－e 1－xxC.(e－e) 2 xx－xx1x－xB.(e＋e) 21x－xD.(e－e) 2 －x解析：选D 因为f(x)＋g(x)＝e，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e，所以g(x)1x－x＝(e－e)． 2 12．(2019届山东滨州模拟)设奇函数f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f(x)在(0，3f（x）－2f（－x） ＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( ) 5xA．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－1，0)∪(0，1) 解析：选D ∵奇函数f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，∴函数f(x)的图象关于原点对称，且过点(1，0)和(－1，0)，且f(x)在(－∞，0)上也是增函数，∴函数f(x)的大致图象如图所示．∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式3f（x）－2f（－x）f（x） <0可化为<0，即xf(x)<0.不等式的解集即为自变量与对应的函数 5xx值异号的x的范围，据图象可知x∈(－1，0)∪(0，1)． 13．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)＝________． 解析：∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数， ∴f(－x＋1)＝f(x＋1)， f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0， ∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2. 答案：2 14．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值；
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