强化训练 函数的性质
1．下列函数中，既是奇函数，又在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A．f (x)＝sin x C．f (x)＝x3＋x 答案 C
解析 对于A，函数为奇函数，但在(0，＋∞)上无单调性，所以A不符合题意． 对于B，由于f (－x)＝e－x＋ex＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，所以B不符合题意． 对于C，函数f (x)＝x3＋x为奇函数，且在R上单调递增，所以C符合题意． 对于D，函数f (x)为偶函数，不符合题意． 9
2．函数f (x)＝x＋(x≠0)是( )
xA．奇函数，且在(0,3)上是增函数 B．奇函数，且在(0,3)上是减函数 C．偶函数，且在(0,3)上是增函数 D．偶函数，且在(0,3)上是减函数 答案 B
解析 因为f (－x)＝－x＋
999
x＋?＝－f (x)，所以函数f (x)＝x＋为奇函数． ＝－??x?x－x
B．f (x)＝ex＋ex 1D．f (x)＝2 x
－
9
又f′(x)＝1－2，在(0,3)上f′(x)<0恒成立，
x
∴f (x)在(0,3)上是减函数．
3．若函数f (x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是( ) A．奇函数 C．非奇非偶函数 答案 A
解析 由f (x)是偶函数可得b＝0， ∴g(x)＝2ax3＋9x， ∴g(x)是奇函数．
4．(2020·四川攀枝花诊断)已知偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x－1)≥－1，则x的取值范围为( ) A．(－∞，－1] C．[0,1] 答案 C
解析 由题意，得f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x－1)≥f (1)，则|2x－1|≤1，解得0≤x≤1.故选C.
5．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A．f (－25) 解析 因为f (x)满足f (x－4)＝－f (x)， 所以f (x－8)＝f (x)，所以函数f (x)是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)． 由f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (x－4)＝－f (x)，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x)在区间[0,2]上是增函数，f (x)在R上是奇函数， 所以f (x)在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1) 6．(2020·四川泸州诊断性考试)已知函数f (x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则 B．[1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) B．偶函数 D．既奇又偶函数 下列结论正确的是( ) A．f (x)的值域是(0,1) C．f (x)是周期函数 答案 C 解析 由[x]表示不超过x的最大整数， 对于A，函数f (x)＝x－[x]∈[0,1)，A错误； 对于B，函数f (x)＝x－[x]为非奇非偶的函数，B错误； 对于C，函数f (x)＝x－[x]是周期为1的周期函数，C正确； 对于D，函数f (x)＝x－[x]在区间[0,1)上为增函数，但在整个定义域内不具备单调性，D错误． B．f (x)是奇函数 D．f (x)是增函数 ?12??的值为________． 7．已知函数f (x)是奇函数，当x>0时，f (x)＝ln x，则f ?f ??e?? 答案 －ln 2 1?1解析 由已知可得f ?＝ln ＝－2， 2?e?e2 ?12??＝f (－2)． 所以f ?f ??e?? 又因为f (x)是奇函数， ?12??＝f (－2)＝－f (2)＝－ln 2. 所以f ?f ??e?? 8．奇函数f (x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________． 答案 9 解析 由于f (x)在[3,6]上为增函数，所以f (x)的最大值为f (6)＝8，f (x)的最小值为f (3)＝－1，因为f (x)为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9. 9．已知函数 f (x)＝x3＋2x，若 ??f (1)＋f?log13?>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是 ?a?____________． 答案 (0,1)∪(3，＋∞) 解析 因为函数f (x)＝x3＋2x是奇函数，且在R上是增函数，f (1)＋f?log13?>0，所以 ????a11??0<<1，??a>1，??a f?log13?>－f (1)＝f (－1)，所以log13>－1，所以?或? ??a?a??0 所以a∈(0,1)∪(3，＋∞)． 10．已知f (x)是定义在R上的奇函数，f (x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f (x)＝|x－3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝________. 答案 0 解析 因为f (x)为奇函数，f (x＋1)为偶函数，所以f (x＋1)＝f (－x＋1)＝－f (x－1)，所以f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x＋1)＝f (－x＋1)中，令x＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝505[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0. 11．已知函数f (x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f (x＋2)＝－f (x)，且当x∈[0,2)时，f (x)＝log2(x＋1)，求： (1)f (0)，f (2)，f (3)的值； (2)f (2 021)＋f (－2 022)的值． 解 (1)f (0)＝log21＝0， f (2)＝－f (0)＝0， f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log2(1＋1)＝－1. (2)依题意得，当x≥0时，f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)， 即当x≥0时，f (x)是以4为周期的函数． 因此，f (2 021)＋f (－2 022)＝f (2 021)＋f (2 022)＝f (1)＋f (2)． 而f (2)＝0，f (1)＝log2(1＋1)＝1， 故f (2 021)＋f (－2 022)＝1. 3x＋b3 12．已知f (x)＝2是奇函数，且f (2)＝. 5ax＋2(1)求实数a，b的值； (2)判断函数f (x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明； (3)求f (x)的最大值． 解 (1)∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)． ∴ －3x＋b3x＋b ＝－， ax2＋2ax2＋2 ∴b＝－b，∴b＝0. 363又f (2)＝，∴＝， 54a＋25∴a＝2. (2)f (x)在(－∞，－1]上为减函数． 3x3 证明如下：由(1)知f (x)＝2＝， 2x＋22x＋2 x1 令g(x)＝x＋， x 则g(x)的单调性和f (x)的单调性相反． 设x1 11 则g(x1)－g(x2)＝x1＋－x2－ x1x21?1－＝(x1－x2)??x1x2?. ∵x1 1 ∴x1－x2<0，x1x2>1,1－>0， x1x2∴g(x1)－g(x2)<0，即g(x1) (3)由(1)(2)结合计算可知f (x)在(－∞，－1]上单调递减，在(－1,0]上单调递增，在(0,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 3 又∵当x<0时，f (x)<0，且f (1)＝>0， 43 ∴f (x)max＝f (1)＝. 4
相关推荐：
loading