波利亚与《怎样解题表》

波利亚与《怎样解题表》

1、乔治·波利亚

乔治·波利亚(1887—1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法）现代研究的先驱。由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME （国际数学教育大会）聘为名誉主席。

作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容。

作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》（1945年）、《数学与似真推理》（1954年）、《数学的发现》（1962年）三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域，波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义。著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”（1952年2月2日）． 2、怎样解题表

波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”。 2．1 “怎样解题”表的呈现 弄清问题 未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?需 要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或第一，你必须弄清问题 者是矛盾的?

画张图，引入适当的符号．

把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?

拟订计划

你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?

你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?

看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题． 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．

你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?

你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它? 回到定义去．

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分。这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?

你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?

第二，找出已知

数与未知数之间

的联系．如果找 不出直接的联 系，你可能不得 不考虑辅助问 题．你应该最终 得出一个求解的 计划 实现你的计划 实现你的求解计划，检验每一步骤。 实行你的计划 第三，你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的? 回顾 你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一 第四，验算所得到的解． 下子看出它来?

你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?

下面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题风格的心路历程，娓娓道来，栩栩如生． 2．2 “怎样解题”表的实践

例1 给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F，(学生已学过棱柱、棱锥的体积) ．

讲解 第一，弄清问题．

问题1. 你要求解的是什么?

要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来（图1）． 问题2．你有些什么?

一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h；另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式，并积累有求体积公式的初步经验．把已知的三个量添到图示处（图2），就得到新添的三个点a、b、h；它们与F之间有一条鸿沟，象征问题尚未解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来．

第二，拟定计划．

问题3．怎样才能求得F?

由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小梭锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积B和A，我们就能求出棱台的体积F＝B—A． ①

我们在图示上引进两个新的点A和B，用斜线把它们与F联结起来，以此表示这三个量之间的联系（图3，即①式的几何图示）．这就把求F转化为求A、B．

问题4．怎样才能求得A与B?

依据棱锥的体积公式（V＝

1Sh），底面积可3由已知条件直接求得，关键高x，大棱锥的高也就求与x、a连结起来，表示A与b、h、x连结起来，表4），这就把求A、B转化为求

是如何求出两个棱锥的高．并且，一旦求出小棱锥的

出，为x?h.

我们在图示上引进一个新的点x，用斜线把A能由x、a得出，A＝ax；类似地，用斜线把B示B可由b、h、x得出，B＝b(x?h) （图

132132 x．

问题5．怎样才能求得x？ 为了使未知数x与已知数a、b、h联系起来，动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”底面一边上中点（图5中，点Q）的平面去截两相似三角形能把a、b、h、x联系起来（转化为

建立起一个等量关系．我们调的思考．用一个通过高线以及个棱锥，在这个截面上有两个平面几何问题），由

?VPO1相似于?VQO2 得

xa??????② x?hb这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解方程②，便可由a、b、h表示x，在图示中便可用斜线将a、b、h、x连结起来．至此，我们已在F与巳知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通。 第三，实现计划．

作辅助线（过程略）如图5，由相似三角形的性质， 得

xaah?,解得x?.进而得两锥体的体积为 x?hbb?a12a3h12b3h(b3?a3)ha2?ab?b2得棱台体积为F?B?A?A?ax?, B?b(x?h)??h.

33(b?a)33(b?a)3(b?a)3③

第四，回顾。

（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的．再作特殊性检验，令a?0，由③可得正四梭锥体的体积公式；令a?b，由③可得正四棱柱体的体积公式．这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公

式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记忆．

（2）回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息（如图l所示，有棱台，a、b、h、F共5条信息），同时又要及时提取记忆网络中的有关信息（如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息），并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合．这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划（包括解题策略）．由这一案例，每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式．

（3）在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件．为了求F，我们只需求A、B（由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知，化归）；为了求A、B，我们只需求x（由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单，降维）；为了求x，我们只需建立关于x的方程（由几何到代数的转化——数形结合）；最后，解方程求x，解题的思路就畅通了，在当初各自孤立而空旷的画面上（图1），形成了一个联接未知与已知间的不中断网络（图5），书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述．这个过程显示了分析与综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划”．

（4）在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用．首先是一般性解决（策略水平上的解决），把F转化为A，B的求解（F＝A—B），就明确了解题的总体方向；其次是功能性解决（方法水平的解决），发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能；最后是特殊性解决（技能水平的解决），比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成．

（5）在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程．首先在正四棱台（条件）求体积（结论）的启引下，激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识（参见图1一图5），??直到条件与结论之间的网络沟通．这种“扩散——激活”的观点，正是数学证明思维中心过程的一种解释．

（6）在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功应用．首先把棱台补充（组合）为棱锥，然后再把棱锥截成（分解成）棱台并作出截面，这种做法在求棱锥体积时曾经用过（先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥），它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁．这些都可以用于求解其他立体几何问题，并且作为一般化的思想（化归、降维）还可以用于其他学科．

（7）“你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象．对于本例，按照化棱台为棱锥的同样想法，可以有下面的解法。

如图6，正四棱台 ABCD?A1B1C1D1 中,连结 DA1,DB1,DC1,DB，将其分成三个四棱锥

D?A1B1C1D1,D?AA1B1B,D?BB1C1C，其中

1VD?A1B1C1D1?b2h, VD?AA?VD?BB1C1C （等底等高）

1B1B3为了求VD?AABB，我们连结AB1，将其分为 两个三棱锥D?ABB1与11D?AA1B1

bb（图7），因 S?AA1B1?S?BB1, 故 VD?AA1B1?VD?ABB1 ,

aa112a2h， 但VD?ABB1?VB1?ABD??a?h?326a2ba2a2?ab故VD?AA1B1B?VD?ABB1?VD?AA1B1?h?h?h .从而

6a66a2?aba2?abb2a2?ab?b2VABCD?A1B1C1D1?VD?AA1B1B?VD?BB1C1C?VD?A1B1C1D1?h?h?h?h

6633 (8)“你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式（方

法是一样的）．注意到

a2?S1,b2?S2,ab? V台?

S1S2,可一般化猜想棱台的体积公式为

1(S1?S1S2?S2)h 3