2016年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则?U（M∪P）=（ ） A．{x|1＜x＜2} B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2} 2．数列{an}的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1，则a3的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．若点P（2，4）在直线l：A．3
B．2
C．1
D．﹣1
（t为参数）上，则a的值为（ ）
4．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（ ） A．﹣
B．
C．﹣
D．
5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．AB=8，BC=4，CD=4，如图，在等腰梯形ABCD中，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（ ）
A．[6，4+4] B．[4，8] C．[4，8] D．[6，12]
8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：
①?a≥1，S△AOB=；②?a≥1，|AB|＜|CD|；③?a≥1，S△COD＜． 其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．已知
=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a= ．
10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为 ．
11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED= ．
12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by
﹣1=0的距离的取值范围是 ． 13．已知点A（
，
），B（
，1），C（
，0），若这三个点中有且仅有两个点在函
数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为 ．
14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h= ．
三、解答题（共6小题，满分80分） 15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x． （1）比较f（
），f（
）的大小；
（2）求函数f（x）的最大值．
16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示： 第二周 第四周 第一周 第三周 第五周 A型数量（台） 11 10 15 A4 A5 B型数量（台） 10 12 13 B4 B5 C型数量（台） 15 8 12 C4 C5 （1）求A型空调前三周的平均周销售量； （2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；
（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（xn﹣）2]，其中为x1，x2，…，xn的平
均数）
（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．
17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点． （1）求证：GH∥平面DEM； （2）求证：EM⊥CN；
（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．
18．已知函数f（x）=ex（x2+ax+a）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围； （3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）
19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．
（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率； （Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：
＜．
20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，xi，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n≥3．?X={x1，x2，…，xi，…，xn}∈Ωn，称xi为X的第i个坐标分量．若S?Ωn，且满足如下两条性质：
①S中元素个数不少于4个；
②?X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1； 则称S为Ωn的一个好子集．
（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；
（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；
（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．
2016年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则?U（M∪P）=（ ） A．{x|1＜x＜2} B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2} 【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出M∪P，从而求出其补集即可． 【解答】解：M={x|x≤1}，P={x|x≥2}， ∴M∪P={x|x≤1或x≥2}， ?U（M∪P）={x|1＜x＜2}， 故选：A．
2．数列{an}的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1，则a3的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】数列递推式． 【分析】由题意可得an+1=
an，分别代值计算即可．
【解答】解：数列{an}的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1， ∴an+1=an， ∴a2=a1=2×2=4， ∴a3=
×a2=×4=6，
故选：B．
3．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（ A．3
B．2
C．1
D．﹣1
【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】由题意可得：，解得a即可得出． 【解答】解：∵，解得a=﹣1．
故选：D．
4．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（ ） A．﹣
B．
C．﹣
D．
）
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