余弦定理

余 弦 定 理

北师大版必修5第二章第1.2节 江西省新余市渝水一中 敖鹏举 一、教材分析

本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第二章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“已知三边求三角形的三个角”及“已知两边及其夹角求三角形其他边与角”问题，培养学生数学思维品质，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

二、学情分析

本节之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，解决问题是学生学习的一大难点。

三、教学目标

1．知识与技能：继续探索任意三角形的边长与角度间的具体量化关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出余弦定理，掌握余弦定理的内容及其证明方法，并学会运用余弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。

2．过程与方法：通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。

3．情感态度与价值观：通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

四、教学重点与难点

教学重点：余弦定理的证明及其基本应用。 教学难点：理解余弦定理的作用及适用范围。

五、教学过程

（一）知识回顾：正弦定理及其主要解决哪几类问题的三角形。 设计意图：回顾旧知，防止遗忘。 （二）创设情境，提出问题

问题1：现有卷尺和测角仪两种工具，请你设计合理的方案，来测量学校生物岛边界上两点的最大距离（如图1所示，图中AB的长度）。

设计意图：来源于生活中的问题能激发学生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体会到数学来源于生活，数学服务于生活。

师生活动：教师可以采取小组合作的形式，让学生设计方案尝试解决。 学生1：如果卷尺足够长的话，可以在岛对岸小路上取一点C（如图2），用卷尺量出AC和BC的长，用测角仪测出∠ACB的大小，那么△ABC的大小就可以确定了。感觉似乎在△ABC中已知AC、BC的长及夹角C的大小，可以求AB的长了。

其他学生有异议，若卷尺没有足够长呢？

学生2：在岛对岸可以取C、D 两点（如图3），用卷尺量出CD的长，再用测角仪测出图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用

正弦定理求AC，同理在△BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的长了。

教师：两种方案归根到底都是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系？

设计意图：给学生足够的空间和展示的平台，充分发挥学生的主体地位。 （三）求异探新，证明定理

问题2：在△ABC中，∠C = 90°，则用勾股定理就可以得到c=a+b。 设计意图：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形。

师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。

学生3：在△ABC中，如图4，过C作CD⊥AB，垂足为D。

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ABC图2在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1; 在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;

Cb12ac=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD = a2?b2?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?2=a?b?2abcos(?1??2)?a2?b2?2abcosC学生4：如图5，过A作AD⊥BC，垂足为D。

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ABD图4则：c2?AD2?BD2?b2?CD2?(a?CD)2 ?a?b?2a?CD?a2?b2?2abcosC学生5：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC， ∴c=（bsinC）+（a- bcosC）= a+b-2abcosC

类似地可以证明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

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22_ C_ b_ D_ a_ A

_ B_ c

_ 图5

教师总结：上述证明是把斜三角形转化为两个直角三角形，化一般为特殊，再利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密，还要分∠C为钝角或直角时，同样都可以得出以上结论，这也正是本节课的重点—余弦定理。

设计意图：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。

师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。

教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？

设计意图：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。

学生6：如图6，

bCaABc图6????????????记AB?c,CB?a,CA?b????????????则c?AB?CB?CA?a?b?2??2?（c）?（a?b） ?2?2???a?b?2a?b?2?2?2??即c?a?b?2a?b?cosC?c2?a2?b2?2abcosC教师：以上的证明避免了讨论∠C是锐角、钝角或直角，思路简洁明了，过程简单，体现了向量工具的作用。又向量可以用坐标表示，AB长度又可以联系到平面内两点间的距离公式，你会有什么启发？

设计意图：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。 学生7：如图7，建立直角坐标系，在△ABC中，AC = b，BC =a . 且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），

则 c2?AB?(acosC?b)2?(asinC)2?a?b?2abcosC222

设计意图：通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生

体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学生思维空间的深度和广度。

（四）运用定理，解决问题 师生活动：

教师：引导学生分析余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。

学生：讨论余弦定理可以解决的问题类型： ①如果已知三角形的三边，求三角形的各角；

②如果已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其它两角。 例1：①在△ABC中，已知b=6，c=4,∠A=60°，求边a。 ②在△ABC中，已知a=5，b=3，c=7，求A、B、C。

设计意图：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既①已知三角形两边及夹角，求第三边；②已知三角形三边，求三内角。

例2：在△ABC中，已知a?3,b?2,B?45?，求角A和C及边c。