即点M的轨迹E的方程为＋y＝1.
4(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，
故可设l：x＝ty＋m，t∈R，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵l与圆O：x＋y＝1相切， ∴
|m|
＝1，即m＝t＋1，① 2t＋1
2
2
2
2
2
2
x2
2
??x＋4y＝4，由?
?x＝ty＋m?
2
2
2
消去x，并整理得(t＋4)y＋2mty＋m－4＝0， 其中Δ＝4mt－4(t＋4)(m－4)＝48>0， 2mtm－4∴y1＋y2＝－2，y1y2＝2.②
t＋4t＋4∴|AB|＝?x1－x2?＋?y1－y2? ＝t＋1?y1＋y2?－4y1y2， 将①②代入上式得 |AB|＝t＋12
2
22
22
22
2
2
4mt4?m－4?43|m|
＝2，|m|≥1， 22－?t＋4?t2＋4m＋3
222
1143|m|
∴S△AOB＝|AB|·1＝·2
22m＋3＝
23≤＝1， 323|m|＋
|m|23
3
当且仅当|m|＝，即m＝±3时，等号成立，
|m|∴△AOB面积的最大值为1.
思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
12
跟踪训练2(2018·邢台模拟)已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对
22称．
x2
5
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)． 解 (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为
??x2
2
y2＋y＝1，＝－1
mx＋b.由?
??y＝－1
mx＋b，
消去y，得??11?2＋m2??22b2
?
x－mx＋b－1＝0.
2
因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x22
42＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b＋2＋m2>0，①
22
将AB的中点M??2mbmb?m2＋2，m2＋2??1m＋2?
代入直线方程y＝mx＋2，解得b＝－2m2，②
由①②得m<－66
3或m>3
. (2)令t＝1?6??6?
m∈??－2，0??∪??
0，2??，
则t2
∈???0，32???
.
－2t4＋2t2
＋
3则|AB|＝t2
＋1·
2，t2
＋
1
2
t2＋
1且O到直线AB的距离为d＝
2
t2＋1
.
6
设△AOB的面积为S(t)， 11
所以S(t)＝|AB|·d＝22
2?21?2
－2?t－?＋2≤，
2?2?
12
当且仅当t＝时，等号成立，
2
?3?2
此时满足t∈?0，?.
?2?
故△AOB面积的最大值为
2. 2
→→2
1．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1·PF2<0，则
4
x2
x0的取值范围是( )
?2626?A.?－，?
3??3
?2323?
B.?－，?
3??3
7
C.?－??33?，? 33?
D.?－
?
?66?，? 33?
答案 A
解析 由题意可知，F1(－3，0)，F2(3，0)， →→222
则PF1·PF2＝(x0＋3)(x0－3)＋y0＝x0＋y0－3<0， 点P在椭圆上，则y＝1－，
4
2626?x0?故x＋?1－?－3<0，解得－ 2 0 2 20 x20 ?2626? 即x0的取值范围是?－，?. 3??3 2．定长为4的线段MN的两端点在抛物线y＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到 2 y轴距离的最小值为( ) 7 A．1B.C．2D．5 4答案 B 1?1?2 解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y＝x的焦点为F?，0?，抛物线的准线为x＝－，4?4? 所求的距离d＝? ?x1＋x2?＝ ??2? x1＋＋x2＋ 2 14 1 41|MF|＋|NF|1|MF|＋|NF|1|MN|1－＝－，所以－≥－4242424 7 ＝(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号)． 4 π2 3．过抛物线y＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点 4 A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( ) ?1?A.?，1? ?4??1?C.?，＋∞? ?2? 答案 D ?1?B.?，＋∞? ?4? 2??1 D.?，1＋? 2??4 1?1?11 解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝?＋|AF|cosθ?＋＝＋|AF|cosθ， 4?4?4211 |AF|(1－cosθ)＝，|AF|＝. 22?1－cosθ? π21112 由≤θ<π得－1 8
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