精品
第一部分 专题七 第二讲 概率及其应用
A组
1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( C )
8
A． 151
C． 15
1
B． 81D． 30
[解析] 根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概1
率是.故选C．
15
2．在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( D )
3A． 107C． 10
5B． 82D． 5
[解析] 由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，42(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为＝.
105
故选D．
3．(2018·江西宜春中学3月模拟)已知在数轴上0和3之间任取一个实数x，则使“log2x<1”的概率为( C )
1A． 42C． 3
1B． 81D． 12
2
[解析] 由log2x<1，得0 311 4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( A ) 235 A． 61C． 6 2B． 51D． 3 [解析] 令A＝“甲、乙下成和棋”，B＝“甲获胜”，C＝“甲输”，则C＝“甲不输”． 精品 111111115 ∵P(A)＝，P(B)＝，∴P(C)＝1－，P(B)＝，∴P(C)＝1－－＝.∴P(C)＝1－＝. 2323236665 故甲不输的概率为. 6 ππ 5．在区间[－，]上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，2]的概率为( D ) 621A． 22C． 3 1B． 33D． 4 ππ2ππ [解析] sinx＋cosx＝2sin(x＋)，由1≤2sin(x＋)≤2，得≤sin(x＋)≤1，结合x∈[－， 44246π2ππ3 ]得0≤x≤，所以所求概率为＝.故选D． 22ππ4 ＋26 6．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( C ) 1A． 43C． 4 1B． 27D． 8 灯第一次亮的时 [解析] 如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩0≤x≤4，?? 刻为x，y，且x，y相互独立，由题意可知?0≤y≤4， ??|x－y|≤2，的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝3 . 4 所以两串彩灯第一次亮 S正方形－2S△ABC＝ S正方形 错误!＝错误!＝ 7．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，2事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝. 3[解析] 将事件A＋B分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”，则C，D互112 斥，且P(C)＝，P(D)＝，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝. 333 222 8．已知函数f(x)＝2x－4ax＋2b，若a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为. 3[解析] 要使函数f(x)＝2x－4ax＋2b有两个零点，即方程x－2ax＋b＝0要有两个实根，则Δ＝4a－4b>0.又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的取法有(4,3)，(6,3)， 2 2 2 2 2 2 精品 62 (6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为＝. 93 9.(2018·郑州模拟)折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形1 点，该点落在阴影部分内的概率为. 3 [解析] 设正方形ABCD的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的面 △ADG和手段．已知在折形，G为线段BC的 AEFGHID中投掷一 积为SAGFE＋SDGHI＋S122 ＝(5)＋(5)＋×2×2＝12， 21 阴影部分的面积为2××2×2＝4， 2 41 所以向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为＝. 123 10．(2018·永州三模)我国为确保贫困人口到2020年如期脱贫，把2017年列为“精准扶贫”攻坚年，2017 年1月1日某贫困县随机抽取100户贫困家庭的每户人均收入数据做为样本，以考核该县2016年的“精准扶贫”成效(2016年贫困家庭脱贫的标准为人均收入不小于3000元)．根据所得数据将人均收入(单位：千元)分成五个组：[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)，[5,6]，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值． (2)如果被抽取的100户贫困家庭有80%脱贫，则认为该县“精准扶贫”的成效是理想的．请从统计学的角度说明该县的“精准扶贫”效果是理想还是不理想？ (3)从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户，求至少有1户人均收入在区间[1,2)上的概率． [解析] (1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，得：0.02＋0.03＋0.45＋a＋0.2＝1，解得a＝0.3. (2)由频率分布直方图得人均收入超过3000元的频率为： 1－0.02－0.03＝0.95＝95%>80%， 所以从统计学的角度来说该县的“精准扶贫”效果理想． (3)户人均收入小于3千元的贫困家庭中有(0.02＋0.03)×100＝5(户)，其中人均收入在区间[1,2)上有0.02×100＝2(户)，人均收入在区间[2,3)上有0.03×100＝3(户)，从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户，基本事件总数n＝10，至少有1户人均收入在区间[1,2)上的对立事件是两户人均收入都在区间[2,3)上， 37所以至少有1户人均收入在区间[1,2)上的概率：P＝1－＝. 1010 精品 B组 →→→ 1．已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( C ) 1A． 41C． 2 1B． 32D． 3 → →→→ [解析] 如图所示，取边BC上的中点D，由PB＋PC＋2PA＝0，得→ PB＋PC＝2AP.又 何概率的概率公 →→ PB＋PC＝2PD，故AP＝PD，即P为AD的中点，则S△ABC＝2S△PBC，根据几 式知，所求概率P＝ →→→→ S△PBC1 ＝，故选C． S△ABC2 两颗骰子得到的 1312 2．(2018·济南模拟)已知函数f(x)＝ax－bx＋x，连续抛掷 32点数分别是a，b，则函数f ′(x)在x＝1处取得最值的概率是( C ) 1 A． 361C． 12 2 1B． 181D． 6 [解析] 由题意得f ′(x)＝ax－bx＋1，因为f ′(x)在x＝1处取得最值，所以＝1，符合的点数(a， 2abb)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a，b)共有36种情况，所以所求概 31 率为＝，故选C． 3612 11 3．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率， 22 p3为事件“xy≤”的概率，则( B ) A．p1 B．p2 1 2 1 [解析] 满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥”对应的图形为图① 211 所示的阴影部分；事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤”对应的图形为图③所 22示的阴影部分． 对三者的面积进行比较，可得p2 精品 4．从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为( C ) 4nA． mn2nB． mn4mC． 2mD． 而平方和小于14m[解析] 由题意得：(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示的正方形中，π4m的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，所以π＝ 1nn. 5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C ) 1A． 32C． 3 1B． 25D． 6 [解析] 总的基本事件是：红黄，白紫；红白，黄紫；红紫，黄白，共3种．满足条件的基本事件是：红2 黄，白紫；红白，黄紫，共2种．故所求事件的概率为P＝. 3 x2y2x2y2 6．曲线C的方程为2＋2＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A为“方程2＋2＝1 mnmn5表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝. 12[解析] 试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，155共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P(A)＝＝. 3612 7．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现5 向上的点数之和小于10的概率是. 6 [解析] 将骰子先后抛掷2次的点数记为(x，y)，则共有36个等可能基本事件，其中点数之和大于或等于305 10的基本事件有6种：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以所求概率为＝. 366 8．(2018·湖北武汉二月调考)如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组5名工人制造某种零件的个数. 甲 9 9 2 0 0 (1)求甲组工人制造零件的平均数和方差； (2)分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，求这两名工人制造的零件总数不超过20的概率． 1 [解析] (1)甲组工人制造零件数为9,9,10,10,12，故甲组工人制造零件的平均数x＝(9＋9＋10＋10＋ 5 0 1 乙 8 9 9 0 1 精品 12)＝10， 16222222 方差为s＝[(9－10)＋(9－10)＋(10－10)＋(10－10)＋(12－10)]＝. 55(2)由题意，得甲、乙两组工人制造零件的个数分别是： 甲：9,9,10,10,12；乙：8,9,9,10,11， 甲组中5名工人分别记为a，b，c，d，e，乙组中5名工人分别记为A，B，C，D，E， 分别从甲、乙两组中随机选取1名工人，共有25种方法， 制造零件总数超过20的有： eB，eC，eD，eE，dE，cE，共6种， 619 故这两名工人制造的零件总数不超过20的概率P＝1－＝. 2525 9．(2018·天津卷，15)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． [解析] (Ⅰ)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． (Ⅱ)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A， F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种． (ii)由(Ⅰ)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种． 5 所以，事件M发生的概率为P(M)＝. 21
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