第一章 绪论
[教学目标]
1． 理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性。 2． 掌握将实际问题建立成常微分方程模型的一般步骤。 3． 理解积分曲线和方向场的概念。
[教学重难点] 重点微分方程的基本概念，难点是积分曲线和方向场。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 4学时
[教学内容] 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的阶，隐式方程，显式方程，线性（非线性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线和方向场；建立常微分方程模型的具体方法。 [考核目标] 常微分方程及其解的概念，会建立常微分方程模型。
§1 微分方程模型
1、微分方程的产生和发展
常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。
300多年前，Newton与Leibniz奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念.
17世纪末到18世纪，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式. 19世纪末到20世纪处,主要研究解的定性理论与稳定性问题.
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20世纪进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法.
解析方法:是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数. 几何方法:(或定性方法)把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族.
数值方法:求微分方程满足一定初始条件(或边界)条件的解的近似值的各种方法. 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
2、微分方程模型
微分方程是数学联系实际问题的重要渠道之一,将实际问题建立成微分方程模型
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最初并不是数学家做的,而是由化学家、生物学家和社会学家完成的。
实际问题的信抽象、数学模求数学模型解解实际问验例1 物体冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中，在时刻t?0时，测得它的温度为u0?150℃，10分钟后测得温度为u1?100℃.确定物体的温度与时间的关系,并计算20分钟后物体的温度.假定空气的温度保持为ua?24℃.
解 设物体在时刻t的温度为u?u(t),由牛顿(Neweon)冷却定律可得 (1.1)
这是关于未知函数u的一阶微分方程,利用微积分的知识将(1.1)改为 (1.2)
%% c两边积分,得到 ln(u?ua)??kt?c为任意常数
du??k(u?ua) (k?0, u?ua) dtdu??kdt u?ua令(1.3)
ec%?c,进而
u?ua?ce?kt
根据初始条件, 当t?0时, u?u0, 得常数c?u0?ua 于(1.4)
再根据条件t?10分钟时,u?u1,得到 u1?ua?(u0?ua)e?10k k?1u0?ualn 10u1?ua是
u?ua?(u0?ua)e?kt
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将u0?150,u1?100,ua?24代入上式,得到 k?从(1.5)
由方程(1.5)得知,当t?20分钟时,物体的温度u2?70℃,而且当t???时,
u?24℃.
1150?241ln?ln1.66?0.051 10100?2410而, u?24?126e?0.051t
温度与时间的关系也可通过图形表示出来.如图(1.1). 可解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了.事实上，经过2小时后，物体的温度已变为24℃，与空气的温度已相当接近.法律破案判断尸体的死亡时间就是用这一冷却过程的函数关系来判断的.
例 2 动力学问题
物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,空气的阻力可看作与速度的平方成正比,试确定物体下落过程所满足的关系式.
解 设物体质量为m，空气阻力系数为k，又设在时刻t物体的下落速度为v,于是在时刻t物体所受的合外力为F?mg?kv2,建立坐标系,取向下方向为正方向,根据牛顿第二定律得到关系式
m(1.6) 而
且
,
满
足
初
始
条
件
t?0dv?mg?kv2 dt时,v?0
(1.7)
例 3 电力学问题
在如图(1.2)所示的R?L?C电路,它包括电感L、电阻R和电容C.设R、L、C均为常数,电源e(t)是时间t的已知函数,建立当开关K合上后,电流I应满足的微分方程.
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解 经过电感L、电阻R和电容C的电压降分别为： L电量，由基尔霍夫第二定律得到
e(t)?L（1.8） 因为I?dQ，于是有 dtdIQ、RI和，其中Q为dtCdIQ?RI? dtCd2IRdII1de(t)?? 2?
dtLdtLCLdt（1.9）
这就是电流I应满足的微分方程.如果e(t)=常熟，得到
d2IRdII??0 2?dtLdtLC（1.10）
如果又有R?0，则得到
d2II?0 2?dtLC（1.11）
例 4 人口模型
英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus）在1798年提出了闻名于世的Malthus人口模型的基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记此常数为r（生命系数）.
在t到t??t这段时间内人口数量N?N(t)的增长量为 N(t??t)?N(t)?rN(t)?t（?t?1,r?于是N(t)满足微分方程
N(t??t)?N(t)）
N(t)dN?rN dt第 5 页
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