2.5 向量的应用
学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
知识点一 几何性质与向量的关系
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.
思考1 证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？
思考2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？
梳理 平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由______表示出来．
知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤
1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为____________．
2．通过____________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 3．把运算结果“________”成几何关系．
知识点三 物理中的量和向量的关系
1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是________．
2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________________．
类型一 用平面向量求解直线方程
例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，
AB的中点．
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(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
跟踪训练1 在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线方程．
类型二 用平面向量求解平面几何问题
例2 已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路： (1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化．
跟踪训练2 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连结DP，EF，求证：DP⊥EF.
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类型三 向量在物理学中的应用
命题角度1 向量的线性运算在物理中的应用
例3 (1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算．第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．
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跟踪训练3 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103 km/h，求小船的实际航行速度．
命题角度2 向量的数量积在物理中的应用
例4 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点
B(7,0)．
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功； (2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．
反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．
跟踪训练4 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
1．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J.
2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为________________．
3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.
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