推荐下载 2018年数学江苏专用理科提高版大一轮复习自主学习：第81课 重要的不等式及其应用 含解析

第81课 重要的不等式及其应用

【自主学习】

第81课 重要的不等式及其应用

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1. (选修4-5P24例2改编)求函数y=1-x+4?2x的最大值.

【解答】因为y2=(1-x+2·2?x)2≤[12+(2)2]·(1-x+2+x)=9，所以y≤3，当且仅

12当1-x=2?x，即x=0时取“=”，故ymax=3.

422. (选修4-5P38习题6改编)求函数f(x)=x+x(x>1)的最小值.

xx44xx4x43??222【解答】因为x>1，所以f(x)=x+x=2+2+x≥322x?x=3，当且仅当2=x，即x=2时取等号，故f(x)min=3.

3. (选修4-5P37习题6改编)已知正数a，b，c满足a+2b+3c=6，求证：

a?1+2b?2+3c?3≤6.

【解答】因为a+2b+3c=6，

所以(a+1)+(2b+2)+(3c+3)=12. 由柯西不等式，得

[(a+1)+(2b+2)+(3c+3)](12+12+12)≥(a?1+2b?2+3c?3)2，则

a?1+2b?2+3c?3≤6，当且仅当a?1=2b?2=3c?3时取等号，此时

1a=3，b=1，c=3.

a4?b4?c4abc4. (选修4-5P37习题11改编)设a，b，c均为正实数，求证：a+b+c≤. 【解答】设a≥b≥c，右边

a4?b4?c4111111111abcbc+b3·ac+c3·ab≥a3·ac+b3·ab+c3·bc≥a2·a+b2·b+c2·c=a+==a3·

b+c=左边.

1. 柯西不等式：设n为大于1的自然数，ai，bi(i=1，2，3，…，n)为任意实数，则

bnb1b2?n?22aibi??ai?bi?i??1?，其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立(当ai=0时，约定i?1i?1≥?nn2bi=0，i=1，2，3，…，n).

2. 排序不等式：设两组实数a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn，且a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，若记c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任意一个排列，则和数a1c1+a2c2+…+ancn在a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn 同序时最大，反序时最小 ，即a1b1+a2b2+…+anbn≥a1c1+a2c2+…+ancn≥a1bn+a2bn-1+…+anb1，等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立.

a1?a2?n3. 均值不等式：若a1，a2，…，an均为正数，则

?ann≥a1a2a3an，等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.

【要点导学】

要点导学 各个击破

利用柯西不等式证明不等式

例1 已知ad1+bd2+cd3=2，且a，b，c，d1，d2，d3均大于零，求证：

2a2b2cd1+d2+d3≥(a+b+c)2.

【思维引导】利用ad1+bd2+cd3=2变形为

?ab?abc?c?2a2b2c????????d1+d2+d3=2?d1d2d3?=(ad+bd+cd)?d1d2d3?，构造符合柯西不等

123式的形式，再利用柯西不等式进行证明.

【解答】已知ad1+bd2+cd3=2， 所以由柯西不等式，得

?abc?2a2b2c????d1+d2+d3=2?d1d2d3?

?abc?????ddd23?=(ad1+bd2+cd3)?1

22??a?2??c???b????????????d2?ad12bd22cd32??d1???d3?????? =[()+()+()]·++

≥(a+b+c)2.

故原不等式得证.