1．1.3 导数的几何意义
预习课本P6～8，思考并完成下列问题 (1)导数的几何意义是什么？
(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？
(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？
[新知初探]
1．导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?
＝f′(x0)．
Δx
2．导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)． (2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝lim →
Δx0
f?x＋Δx?－f?x?
. Δx
[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f(x)＝0没有导函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 C．与x轴垂直 答案：B
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( ) A．4 C．－2 答案：D
4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．
答案：y轴 x轴
14
[典例] 已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．
33[解] 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4， ∴切点P(2,4)．
1414?2＋Δx?3＋－×23－3333Δy
y′|x＝2＝lim ＝lim ΔxΔx→0ΔxΔx→01
＝lim[4＋2·Δx＋(Δx)2]＝4. →3Δx0∴k＝y′|x＝2＝4.
求曲线的切线方程 B．－4 D．2
B．与x轴平行或重合 D．与x轴斜交
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤
2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))．
(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?
.
Δx
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率． (4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k. (5)根据点斜式写出切线方程． (6)将切线方程化为一般式． [活学活用]
过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为( ) A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0 B．x－y－2＝0
C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0 D．x－y＋2＝0
解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上， 若切点为(1，－1)，则由f′(1)＝lim →
Δx0
f?1＋Δx?－f?1?
Δx
?1＋Δx?3－2?1＋Δx?－?－1?
＝lim ΔxΔx→0
2
＝lim[(Δx)＋3Δx＋1]＝1， →
Δx0
∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)， 即x－y－2＝0.
若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，
3
y0＋1x3?x0－x0?－?x0－1?0－2x0＋1则k＝＝＝
x0－1x0－1x0－12
＝x0＋x0－1，
又由导数的几何意义知
k＝f′(x0)＝lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?
Δx
?x0＋Δx?3－2?x0＋Δx?－?x30－2x0?
＝lim ＝3x20－2， →ΔxΔx0
2∴x0＋x0－1＝3x20－2，
∴2x20－x0－1＝0， 1∵x0≠1，∴x0＝－. 25
∴k＝x2＋x－1＝－， 00
4
5
∴切线方程为y－(－1)＝－(x－1)，
4即5x＋4y－1＝0，故选A.
[典例] 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x－y－2＝0. (3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0. [解] 设切点坐标为(x0，y0)，则
2
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)，
求切点坐标 ∴
Δy
＝4x0＋2Δx， Δx
Δy
当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0.
Δx(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1. 1
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
419?∴切点的坐标为??4，8?.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
?－1?＝－1，即k＝8， 则k·?8?
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