中考 2020
专题25 推理能力提升专题卷
（时间：90分钟 满分120分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2019·山西太原五中初三月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（ ）
A．BC=3DE B．【答案】D 【解析】
BDCE1 C．△ADE～△ABC D．S△ADE=S△ABC ?BACA3解：∵BD=2AD，∴AB=3AD，∵DE∥BC，∴∵DE∥BC，∴
DEAD1?=，∴BC=3DE，A结论正确； BCAB3BDCE?，B结论正确； BACA1S△ABC，D结论错误， 9∵DE∥BC，∴△ADE～△ABC，C结论正确； ∵DE∥BC，AB=3AD，∴S△ADE=故选D． 【点睛】
本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理是本题的解题关键． 2．（2019·上海中考模拟）下列图形中一定是相似形的是( ) A．两个菱形 【答案】B 【解析】
解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
B．两个等边三角形 C．两个矩形
D．两个直角三角形
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故选：B． 【点睛】
本题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．
3．（2019·陕西中考模拟）如图，在VABC中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且DE//BC，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是( )
A．
ADAE? ABECB．
AGAE? GFBDC．
ODAE? OCACD．
AGAC? AFEC【答案】C 【解析】
解：A.∵DE//BC， ∴
ADAE? ,故不正确； ABACAGAE? ,故不正确； GFECB. ∵DE//BC， ∴
C. ∵DE//BC，
∴VADE∽VABC，VDEO∽VCBO,
?DEAEDEOD??， ． BCACBCOCODAE?? ，故正确； OCACAGAE? ,故不正确； AFACD. ∵DE//BC， ∴
故选C． 【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键． 4．（2019·哈尔滨市第六十九中学校初三月考）如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，
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则AE的长是（ ）
A．5 【答案】C 【解析】
B．
12 5C．
24 5D．
48 5∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm， ∴AO=CO=3cm,BO=DO=4cm,∠BOC=90°， ∴BC=42+32 =5(cm)， ∴AE×BC=BO×AC 故5AE=24， 解得：AE=故选：C. 【点睛】
此题考查菱形的性质，解题关键在于结合勾股定理得出BC的长
5．（2019·福建初一期中）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为( )
24 . 5
A．75° 【答案】A 【解析】
B．60° C．45° D．30°
解:由题意可得:∠2=60°,∠5=45°,
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∵∠2=60°,
∴∠3=180°-90°-60°=30°, ∴∠4=30°,
∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°. 故选A． 【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理,三角形外角的性质,解决本题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．（2019·宁波华茂国际学校初三期末）如图，在四边形ABCD中，?DAB?90?，AD∥BC，BC?1AD，2AC与BD交于点E，AC?BD，则tan?BAC的值是（ ）
A．
1 4B．
2 4C．
2 2D．
1 3【答案】C 【解析】
∵AD∥BC，?DAB?90?，
∴?ABC?180???DAB?90?，?BAC??EAD?90?， ∵AC?BD， ∴∠AED?90?，
∴?ADB??EAD?90?，
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∴?BAC??ADB， ∴VABC∽VDAB，
ABBC?， DAAB1∵BC?AD，
2∴
∴AD?2BC，
∴AB2?BC?AD?BC?2BC?2BC2， ∴AB?2BC，
在Rt△ABC中，tan?BAC?故选：C． 【点睛】
BCBC2； ??AB22BC本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．
7．（2019·浙江初三）如图，矩形ABCD中，对角线AC＝23，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，点B恰好落在对角线AC上的点B′处，P，Q分别是AB，AC上的动点，则PE+PQ的最小值为（ ）
A．3 【答案】B 【解析】 ∵BC＝3BE， ∴EC＝2BE， ∵折叠，
B．2 C．1 D．3
∴BE＝B'E，∠ABC＝∠AB'E＝90°，?BAE??EAC， ∵sin∠ACB＝
B?E1?， EC2中考 2020
∴∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝23，∠ACB＝30°， ∴AB＝3，BC＝3AB＝3，∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠EAC＝30°， 如图
作点E关于AB的对称点E'，连接AE'，PE'， ∵PE+PQ＝PE'+PQ， ∴当Q，P，E'三点共线，且E'Q⊥AC时，
PE+PQ的值最小，
∵BC＝3，BC＝3BE， ∴BE＝1，
∵E'，E两点关于AB对称，
∴BE'＝BE＝1，∠EAB＝∠E'AB＝30°，且∠BAC＝60°， ∴∠E'AC＝90°，
即PE+PQ的最小值为AE'的值， ∵∠BAE'＝30°，BE'＝1，AB⊥CB， ∴AE'＝2，
∴PE+PQ的最小值为2． 故选：B． 【点睛】
此题考查折叠的性质，利用三角函数值求角度，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短的性质，轴对称的性质.
8．（2019·山东初二期中）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（ ）
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A．32 【答案】B 【解析】
B．5 C．4
D．31 由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°， 若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°． ∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°． 在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=32． 同理可求得：AO=OC=3．
在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4， 由勾股定理得：AD1=5．故选B．
9．（2020·山东初二期末）如图，在?ABC中，点M为BC的中点，AD平分?BAC，且BD?AD于点
D，延长BD交AC于点N.若AB?4，DM?1，则AC的长为（ ）
A．5 【答案】B 【解析】
B．6 C．7 D．8
解：∵AD平分?BAC，且BD?AD ∴?BAD??NAD，?ADB??ADN 在△ADB和△ADN中，
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??BAD??NAD? ?AD?AD??ADB??ADN?∴△ADB≌△ADN（ASA） ∴BD=DN，AN=AB=4， ∵点M为BC的中点， ∴NC=2DM=2， ∴AC=AN+NC=6， 故选B． 【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
10．（2019·重庆西南大学附中初三月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（ ）
A．7 【答案】C 【解析】
B．97 14C．97 7D．187 7过点D作DE⊥A′C于E，过A'作A'F⊥CD于F，如图所示： ∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，∠ADC+∠BCD＝180°，∠BCD＝180°﹣120°＝60°， ∵∠ABD＝60°， ∴∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝6，AD＝3AB＝33，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣30°＝90°，∠DBC＝30°，
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∴CD＝tan∠DBC?BD＝tan30°×6＝
3×6＝23， 3由折叠的性质得：∠A'DB＝∠ADB＝30°，A'D＝AD＝33， ∴∠A'DC＝120°﹣30°﹣30°＝60°， ∵A'F⊥CD， ∴∠DA'F＝30°， ∴DF＝
9133A'D＝，A'F＝3DF＝， 222333＝， 22∴CF＝CD﹣DF＝23﹣∴A'C＝93A?F2?CF2＝()2?()2?21，
2211A'C×DE＝CD×A'F， 22∵△A'CD的面积＝
∴
DE?CD?A?F?A?C23?92?97，
72197； 7即D到直线A′C的距离为故选：C．
【点睛】
此题考查折叠的性质，三角函数，勾股定理，直角三角形的30?角所对的直角边等于斜边的一半. 11．（2019·南通市八一中学初二月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（ ）
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A．3 4B．3 3C．3 2D．
1 2【答案】C 【解析】
解：∵四边形ABCD为菱形， ∴A、C关于BD对称， ∴连AE交BD于P， 则PE+PC＝PE+AP＝AE，
根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值． ∵∠ABC＝60°，AB=BC ∴△ABC为等边三角形， 又∵BE＝CE?∴AE⊥BC，
1BC ， 2QAB?1,BE?1 23． 2∴AE＝AB2?BE2＝故选：C． 【点睛】
本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键． 12．（2019·重庆初三期末）如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α
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（其中0°≤α≤90°），连接BG、DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．王凯同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：
①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 【答案】D 【解析】
∵∠DAB＝∠EAG＝90°， ∴∠DAE＝∠BAG， 又∵AD＝AB，AG＝AE， ∴△DAE≌△BAG（SAS）， ∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG， 故①符合题意，
如图1，设点DE与AB交于点P， ∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO， ∴∠DAP＝∠BOP＝90°， ∴BG⊥DE， 故②符合题意，
如图1，过点A作AM⊥DE，AN⊥BG， ∵△DAE≌△BAG， ∴S△DAE＝S△BAG， ∴
12DE×AM＝12×BG×AN， 又∵DE＝BG，
∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG， ∴AO平分∠DOG，
C．3个 D．4个
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∴∠AOD＝∠AOG， 故③符合题意，
如图2，过点G作GH⊥AD交DA的延长线于点H，过点E作EQ⊥AD交DA的延长线于点Q， ∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，∠EAQ+∠GAQ＝90°， ∴∠AEQ＝∠GAQ，
又∵AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°， ∴△AEQ≌△GAH（AAS） ∴AQ＝GH， ∴
11AD×GH＝AB×AQ， 22∴S△ADG＝S△ABE， 故④符合题意， 故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判定和性质的综合，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（2019·河南初三期中）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________
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【答案】【解析】
5?1 2∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点， ∴四边形ABEF是正方形， ∵AB=1，
设AD=x，则FD=x?1，FE=1， ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似， ∴
EFAD?， FDAB1x=， x-11解得x1=1+51-5,x2= (负值舍去)，
221+5是原方程的解. 2经检验x1=【点睛】
本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
14．（2019·银川外国语实验学校初三期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________．
【答案】
2 3【解析】 ∵DE∥BC， ∴∠F=∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF=∠FBC， ∴∠F=∠DBF，
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∴DB=DF， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，
ADDE1DE?? ，即 ，
AD?DBBC1?244解得：DE= ，
3∴
∵DF=DB=2， ∴EF=DF-DE=2-故答案为
42 = ， 332. 3【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．
15．（2019·河北初三期末）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 ．
【答案】7 【解析】
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC． ∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．
∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC． 又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE． ∴
ABDC96??CE?2． ，即?BDCE3CE∴AE?AC?CE?9?2?7．
16．（2019·陕西初三期末）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．
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【答案】
12 7【解析】
作AH⊥BC于H，交GF于M，如图， ∵△ABC的面积是6，
1BC?AH=6， 22?6∴AH==3，
4∴
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x， ∵GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC，
GFAMx3?x12?，即?，解得x=， BCAH43712即正方形DEFG的边长为，
712故答案为．
7∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键.
17．（2019·湖北中考真题）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在
AB上，?BAC??DEC?30?，AC与DE交于点F，连接AE，若BD?1，AD?5，则
CF
?_____． EF
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【答案】【解析】
21． 3解：如图，过点C作CM?DE于点M，过点E作EN?AC于点N，
∵BD?1，AD?5， ∴AB?BD?AD?6， ∵在Rt?ABC中，?BAC?30∴BC??,?B?90???BAC?60?，
1AB?3,AC?3BC?33， 2在Rt?BCA与Rt?DCE中， ∵?BAC??DEC?30?， ∴tan?BAC?tan?DEC， ∴
BCDC?， ACEC∵?BCA??DCE?90?，
∵?BCA??DCA??DCE??DCA， ∴?BCD??ACE， ∴?BCD∽?ACE， ∴?CAE??B?60?，∴
BCBD?， ACAE∴?DAE??DAC??CAE?30??60??90?，333?1， AE中考 2020
∴AE?3，
在Rt?ADE中，
DE?AD2?AE2?52?(3)2?27，
在Rt?DCE中，?DEC?30o， ∴?EDC?60o，DC?在Rt?DCM中，
1DE?7， 2MC?321， DC?22在Rt?AEN中，
NE?33AE?， 22∵?MFC??NFE,?FMC??FNE?90o，
∴?MFC∽?NFE，
∴
CFMC?EFNE212?21， 332故答案为：【点睛】
21． 3本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．
18．（2019·山东初三）如图，点 C 为 Rt△ACB 与 Rt△DCE 的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连 接 AD、BE，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，延长 FC 交 BE 于点 G，若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，则___________．
EG的值为BG
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【答案】
3 4【解析】
如图，过 E作 EH⊥GF于 H，过 B 作 BP⊥GF于P，则∠EHG=∠BPG=90°， 又∵∠EGH=∠BGP， ∴△EHG∽△BPG， ∴
EGEH=， BGBP∵CF⊥AD，
∴∠DFC=∠AFC=90°，
∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB， 又∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CDF=∠ECH，∠FAC=∠PCB， ∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP， ∴
EHCEBPBC?,??1， CFDCCFCA∴EH=
3CF，BP=CF， 4∴
EH3=， BP4∴
EG3=， BG4故答案为
3． 4
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推导是解题的关键.
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三、解答题（每小题6分，共12分）
19．（2019·四川中考真题）如图，线段AC、BD相交于点E,AE?DE ,BE?CE.求证：?B??C.
【答案】详见解析 【解析】
证明：在△AEB和△DEC中，
?AE?DE???AEB??DEC ?BE?CE?∴△AEB≌△DEC 故?B??C. 【点睛】
本题考查了全等三角形中角边角的判定，轴对称型全等三角形的模型，掌握即可解题.
20．（2019·江苏初二期末）如图，在?ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
【答案】证明见解析. 【解析】
∵?ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠EAC=∠FCO，
??EAO??FCO?AO?OC在△AOE 和△COF 中?， ??AOE??COF?∴△AOE≌△COF（ASA），
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∴AE=CF． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．（2019·黑龙江初三）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】
413． 3（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 在△BOE和△DOF中，
??OBE??ODF? ?OB?OD??BOE??DOF?∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF， 设BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2， ∴x2=42+（6-x）2，
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解得：x= ∵BD=13， 3AD2?AB2 =213，
∴OB=
1BD=13， 2∵BD⊥EF， ∴EO=BE2?OB2=213， 3∴EF=2EO=
413． 3点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
22．（2019·全国初三课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求AE的长． 【答案】（1）见解析（2）6 【解析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC ∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B， ∴∠AFD=∠C
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC， ∴△ADF∽△DEC
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC， ∴
ADAF?， DECD∴DE?AD?CD63?8??12 AF43DE?AD?12?63222在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE?
五、解答题（每小题9分，共18分）
??2?6
23．（2019·山东初三期中）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求
AF的值． AG
【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】
（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE=∠AGC=90°， ∵∠EAF=∠GAC， ∴∠AED=∠ACB， ∵∠EAD=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC，
3． 5（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC， ∴
ADAE3?? ABAC5由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
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∴∠EAF=∠GAC， ∴△EAF∽△CAG，
AFAE?， AGACAF3∴= AG5∴
考点：相似三角形的判定
24．（2019·湖州市第五中学初三）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G， （1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形． ①若点G为DE的中点，求FG的长． ②若DG=GF，求BC的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）①25,②123；（2）等腰?DFG的腰长为4或20或解析. 【解析】
（1）①在正方形ACDE中，DG?GE?6， 在Rt?AEG中，AG?84+4814?84+4814或．理由见
77AE2?EG2?65，
QEG//AC， ??ACF∽?GEF，
FGEG?， AFACFG61? ??，
AF1221?FG?AG?25, 3?
中考 2020
②如图1中，
正方形ACDE中，AE?ED，?AEF??DEF?45?，
QEF?EF， ??AEF??DEF，
??1??2，设?1??2?x，
QAE//BC， ??B??1?x， QGF?GD， ??3??2?x，
在?DBF中，?3??FDB??B?180?，
?x??x?90???x?180?，
解得x?30?，
??B?30?，
?在Rt?ABC中，BC?AC?123．
tan30?（2）在Rt?ABC中，AB?如图2中，
AC2?BC2?122?92?15，
当点D在线段BC上时，此时只有GF?GD，
QDG//AC，
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??BDG∽?BCA，
设BD?3x，则DG?4x，BG?5x，
?GF?GD?4x，则AF?15?9x， QAE//CB， ??AEF∽?BCF，
AEAF?， BCBF9?3x15?9x? ?，
99x?
整理得：x2?6x?5?0， 解得x?1或5（舍弃）
?腰长GD?4x?4．
如图3中，
当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF?DG，设AE?3x，则EG?4x，AG?5x，
?FG?DG?12?4x， QAE//BC， ??AEF∽?BCF，
AEAF?， BCBF3x9x?12? ?，
99x?27?
解得x?2或?2（舍弃），
?腰长DG?4x?12?20．
如图4中，
中考 2020
当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF?DG，过点D作
DH?FG．
设AE?3x，则EG?4x，AG?5x，DG?4x?12，
?FH?GH?DG·cos?DGB??4x?12??32x?96， 57x?96?AF?GF?AG?，
5?GF?2GH?416x?48?， 55QAC//DG， ??ACF∽?GEF，
ACAF?， EGFG7x?96125? ?， 4x32x?965?
解得x?12141214或?（舍弃） 77?腰长GD?4x?12?84?4814，
7如图5中，
中考 2020
当点D在线段CB的延长线上时，此时只有DF?DG，作DH?AG于H． 设AE?3x，则EG?4x，AG?5x，DG?4x?12，
?FH?GH?DG·cos?DGB??FG?2FH?32x?96， 596?7x?AF?AG?FG?，
516x?48， 5QAC//EG， ??ACF∽?GEF，
ACAF?， EGFG96?7x125? ?， 4x32x?965?
解得x?12141214或?（舍弃）， 77?腰长DG?4x?12??84?4814，
7综上所述，等腰?DFG的腰长为4或20或【点睛】
本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
六、解答题（每小题10分，共20分）
84?4814?84?4814或．
77中考 2020
25．（2019·河北初三期末）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．
（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论． （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的
1时，求线段EF的长． 4【答案】（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见解析；（3）5. 【解析】
解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE． （2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°， 又∵∠EDF=∠B， ∴∠BFD=∠CDE． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∴△BDF∽△CED． ∴
BDDF=． CEEDCDDFCDCE==，即． CEEDDFED∵BD=CD， ∴
又∵∠C=∠EDF， ∴△CED∽△DEF．
∴△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
中考 2020
∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=
1BC=6． 2在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62， ∴AD=8．
11?BC?AD=×12×8=48， 2211S△DEF=S△ABC=×48=12．
4411又∵?AD?BD=?AB?DH，
22AD?BD8?624??∴DH?． AB105∴S△ABC=
∵△BDF∽△DEF， ∴∠DFB=∠EFD． ∵DH⊥BF，DG⊥EF， ∴∠DHF=∠DGF． 又∵DF=DF，
∴△DHF≌△DGF（AAS）． ∴DH=DG=∵S△DEF=
24． 51124·EF·DG=·EF·=12， 225∴EF=5． 【点睛】
本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．
26．（2019·江苏初三期中）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点
O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个
中考 2020
单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC． （1）当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长． （3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．
【答案】（1）【解析】
301830419；（2）；（3）0＜t≤或＜t≤5． 1113115（1）∵OA=6，OB=8， ∴由勾股定理可求得：AB=10， 由题意知：OQ=AP=t， ∴AC=2t，
∵AC是⊙P的直径， ∴∠CDA=90°， ∴CD∥OB， ∴△ACD∽△ABO，
ACAD?， ABOA6∴AD=t，
5∴
当Q与D重合时， AD+OQ=OA，
6t+t=6， 530∴t=；
11∴
中考 2020
（2）当⊙Q经过A点时，如图
OQ=OA﹣QA=4， ∴t=
4=4s， 1∴PA=4， ∴BP=AB﹣PA=6，
过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G， 连接PF， ∴PE∥OA， ∴△PEB∽△AOB， ∴
PEBP?， OAAB∴PE=3.6，
∴由勾股定理可求得：EF=
219， 5由垂径定理可求知：FG=2EF=419； 5（3）当QC与⊙P相切时，如图
此时∠QCA=90°，
中考 2020
∵OQ=AP=t， ∴AQ=6﹣t，AC=2t， ∵∠A=∠A， ∠QCA=∠ABO， ∴△AQC∽△ABO，
AQAC?， ABOA6?t2t?， ∴10618∴t=，
1318∴当0＜t≤时，⊙P与QC只有一个交点，
13∴
当QC⊥OA时， 此时Q与D重合， 由（1）可知：t=∴当
30， 1130＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点， 111830或＜t≤5． 1311综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤
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