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第二章 函数 第一节 函数及其表示
课程标准(2017年版)
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构命题成函数的要素,能求简单函数的定义域. 导航
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法
1.考向预测:
(1)考查简单函数的定义域; (2)与实际背景结合考查函数的表示方法与分段函数.
2.学科素养:主要考查数学抽象、数学运算的核心素养.
命题预测
(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
1.函数与映射的概念
两集合 A、B
设A、B是两个① 非空数集
函数
对应关系 按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的② 任意 一个数x,在集合B中都有f:A→B ③ 唯一确定 的数f(x)与之对应 名称 记法
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数y=f(x),x∈A
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2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的④ 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑤ 值域 .
(2)函数的三要素:⑥ 定义域 、值域和对应关系.
(3)函数相等:如果两个函数的⑦ 定义域 相同,且⑧ 对应关系 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法:⑨ 解析法 、图象法、列表法.
?提醒 判断两个函数是否相同,要抓住以下两点:①定义域是否相同;②对应关系是否相同,当解析式可以化简时,要注意化简过程的等价性.
3.分段函数
在函数的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的⑩ 对应关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.
?提醒 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义区间端点应不重不漏.
【常用结论】
1.常见的函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R. (5)y=tan x的定义域为xx∈R且x≠kπ+2,k∈Z. (6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R,且x≠0}. 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
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π
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4????-??2(2)y=ax+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[2
,+∞),当a<0时,值域为
4??
(-∞,
4????-??24??
].
(3)y=??
??(k≠0)的值域是{y|y≠0}. (4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞). (5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”). (1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点.( ) (2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一函数.( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的.( )
(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.( 答案 (1)? (2)√ (3)? (4)? (5)√ 2.下面各选项中的两个函数相等的是( ) A.f(x)=√(??-1)2
,g(x)=x-1 B.f(x)=x-1,g(t)=t-1
C.f(x)=√??2-1,g(x)=√??+1·√??-1 D.f(x)=x,g(x)=??2?? 答案 B
3.函数f(x)=√2??-1+1
??-2的定义域为( ) A.[0,2)
B.(2,+∞)
C.[0,2)∪(2,+∞)
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) 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源
D.(-∞,2)∪(2,+∞) 答案 C
4.已知f(x)=3x3+2x+1,若f(a)=2,则f(-a)=( ) A.-2 B.0 C.1
D.-1
答案 B
5.已知函数f(x)=x|x|,若f(x0)=4,则x0的值为 . 答案 2
??2+1,x≤1,
6.设函数f(x)={2则f(f(3))= .
,x>1,??答案
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7.已知函数f(x)=x2-5x+2,若f(a+3)>f(a),则a的取值范围是 . 答案 (1,+∞)
函数的概念
典例1 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有( )
A.①②③④ B.①②③ C.②③
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D.② 答案 C
解析 由题意可知,集合M为函数的定义域,集合N为值域,①图象不满足函数的定义域,不正确;②③图象既满足函数的定义域又满足函数的值域,正确;④图象不满足函数的定义,不正确. 方法技巧
函数概念的理解
(1)对于定义域中的任意一个数在值域中有且只有一个值与之对应. (2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
1-1 (2019烟台模拟)下列各组中的函数相等的是 (填序号).
①y=x与y=√??2; ②y=x与y=??2
??; ③y=x2与s=t2;
④f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),x∈{1,2}与g(x)=(??-1)(??-2)
??-3
,x∈{1,2}.
答案 ③④ 求函数的定义域
命题方向一 具体函数的定义域
典例2 (1)函数f(x)=√??+1+lg(6-3x)的定义域为( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.[-1,2)
D.[-1,2]
(2)(多选)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为( A.2 B.3 C.4
D.5
答案 (1)C (2)ABC
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)
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解析 (1)要使函数f(x)=√??+1+lg(6-3x)有意义,则{的定义域为[-1,2).
??+1≥0,
即-1≤x<2.故函数f(x)
6-3??>0,
(2)易知函数y=x2-4x-4的对称轴方程为x=2,当0≤m≤2时,函数在[0,m]上单调递减,当x=0时y取得最大值,ymax=-4,当x=m时有m2-4m-4=-8,解得m=2;
当m>2时,最小值为-8,而f(0)=-4,由对称性可知,m≤4. 综上,故选ABC.
命题方向二 抽象函数的定义域
典例3 已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是( ) A.[0,2] B.[-1,4] C.[-2,2] 答案 C
解析 ∵函数y=f(x)的定义域为[-2,3], ∴-2≤2x-1≤3, 即-2≤x≤2,
即函数y=f(2x-1)的定义域为[-2,2].
◆探究 (变条件)本例中,若y=f(2x-1)的定义域为[-2,3],求y=f(x)的定义域.
解析 ∵y=f(2x-1)的定义域为[-2,3], ∴-5≤2x-1≤5,
∴函数y=f(x)的定义域为[-5,5]. 方法技巧
函数定义域的求解策略
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式组取交集时可借助数轴,要特别注意端点值的取舍.
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D.[-5,5]
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(2)对于抽象函数定义域的求法:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出;
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. (3)已知函数的定义域求参数范围,可将问题化成含参的不等式(组)问题,然后求解. ?提醒 (1)求函数定义域时,先不要化简函数解析式; (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式. 2-1 函数y=log
A.(-1,3)
√9-??22(x+1)
的定义域是( )
B.(-1,3]
D.(-1,0)∪(0,3]
C.(-1,0)∪(0,3) 答案 D
2-2 若函数y=f(x)的定义域是[0,2 020],则函数g(x)=A.[-1,2 019] B.[-1,1)∪(1,2 019] C.[0,2 020] 答案 B
函数的三种表示法
D.[-1,1)∪(1,2 020]
??(??+1)??-1
的定义域是( )
典例4 (1)(2019湖北模拟)图中为截至2019年3月末,我国的对外储备近1年的变化折线图,由此得到以下说法,其中叙述正确的是( )
A.近1年以来,我国外汇储备月增长量最大的月份是2019年3月 B.2018年4月至10月,我国外汇储备连续下降
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C.2018年底,我国外汇储备降至近年来最低
D.截至2019年3月末,我国外汇储备连续五个月上升 (2)已知f (??+??)=x2+x-2,则f(x)= . (3)已知x与函数f(x),g(x)的关系如下表所示:
x f(x) g(x)
则当f[g(x)]=2时,x= .
答案 (1)D (2)x2-2(x≤-2或x≥2) (3)3
解析 (1)A选项,外汇储备月增长量=后月外汇储备-前月外汇储备,故由题图中数据可知,2019年1月增长量最大,A错;B选项,由折线图可知连续下降描述错误,B错;C选项,由折线图可知2018年10月我国外汇储备降至近年来最低,C错;D选项,由折线图可知截至2019年3月末,我国外汇储备连续五个月上升描述正确.故选D.
(2)因为f(??+??)=x+x=(??+??)-2,
2
-2
1
1 2 3
2 1 2
3 1 1
1
12
又因为x+??≤-2或x+??≥2, 所以f(x)=x2-2(x≤-2或x≥2). (3)由表格可知f(1)=2,∵f[g(x)]=2, ∴g(x)=1,而g(3)=1,∴x=3. 方法技巧
求函数解析式的常用方法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的式子,然后以x替代g(x),即得f(x)的解析式.
(2)换元法:已知函数f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式时可用换元法,即令g(x)=t,从中解出x,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.
(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.
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(4)解方程组法:已知关于f(x)与f (??)或f(-x)的等式,可根据已知条件再构造出等式构成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式.
3-1 (1)已知f (??+1)=lg x,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1.求f(x)的解析式; (3)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式. 解析 (1)令??+1=t得x=??-1,代入得f(t)=lg ??-1. 又x>0,所以t>1,
故f(x)的解析式是f(x)=lg ??-1,x>1. (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=0,知c=0, 则f(x)=ax2+bx, 又由f(x+1)=f(x)+x+1, 得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1. 2??+??=??+1,所以{
??+??=1,解得a=b=2. 所以f(x)=2x2+2x. (3)由f(-x)+2f(x)=2x,① 得f(x)+2f(-x)=2-x,② ①×2-②,得3f(x)=2-2, 故f(x)=
分段函数
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2??+1-2-??
3
x+1
-x
2
222
2
1
11
.
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命题方向一 分段函数的最值问题
-??2-2x+a,x<1,
典例5 (1)(2019南平期末)设函数f(x)={若函数f(x)的最大值为-1,
-log2(x+1),x≥1,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) C.(-∞,-1]
B.[2,+∞) D.(-∞,-2]
??(??),??(??)≥??(??),
则F(x)
??(??),??(??)
(2)(2019迎泽校级月考)已知函数f(x)=x+4,g(x)=x2-2x,F(x)={的最值是( )
A.最大值为8,最小值为3 C.最小值为3,无最大值 答案 (1)D (2)C
B.最小值为-1,无最大值 D.最小值为8,无最大值
解析 (1)当x≥1时,可知f(x)=-log2(x+1)单调递减,可得f(x)≤f(1)=-1, 当且仅当x=1时,f(x)取得最大值-1;
当x<1时,f(x)=-(x+1)2+1+a,当x=-1时,f(x)可取得最大值1+a, 由题意可得1+a≤-1,解得a≤-2.
(2)令f(x)≥g(x)可得x+4≥x2-2x,解得-1≤x≤4,
??+4,-1≤??≤4,
∴F(x)={2
??-2x,x<-1或x>4,
∴F(x)在(-∞,-1)上单调递减,在[-1,4]上单调递增,在(4,+∞)上单调递增. ∴F(x)的最小值为F(-1)=f(-1)=3,F(x)没有最大值.
命题方向二 通过分段函数的图象解题
典例6 已知函数f(x)={
??-|??+1|,??≤1,
函数g(x)=2-f(x),若函数y=f(x)-g(x)恰有42
(??-??),x>1,
个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞) 答案 B
命题方向三 求参数的值或取值范围
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B.(2,3] C.(1,+∞) D.(1,3]
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2??,x>0,
典例7 (1)已知函数f(x)={若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为 .
??+1,??≤0.
1??,0
(2)设f(x)={√若f(a)=f(a+1),则f (??)= .
2(??-1),??≥1,
答案 (1)-3 (2)6
解析 (1)当a>0时,由f(a)+f(1)=0可知2a+2=0,无实数解;当a≤0时,由f(a)+f(1)=0可知a+1+2=0,解得a=-3,满足条件,故a=-3.
(2)解法一:当0
此时f(??)=f(4)=2×(4-1)=6;
当a≥1时,a+1>1,所以f(a)=2(a-1), f(a+1)=2(a+1-1)=2a, 又f(a)=f(a+1),所以2(a-1)=2a,无解. 综上, f (??)=6.
解法二:因为当0 规律总结 分段函数问题的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. 11 / 18 1 1 111 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源 (2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. ?提醒 当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 1 4-1 (2019山西实验中学模拟)设函数是 . 答案 (-∞,-1) f(x)={21 ?? x-1,x≥0,,x<0, 若f(a)>a,则实数a的取值范围 ??+2,??≤-1, ,-1 ,x≥2.2(1)求f [??(2)]的值; (2)若f(a)=2,求a的值. 解析 (1)f [??(2)]=f(3)=2. (2)①当a≤-1时,f(a)=a+2=2,解得a=0,矛盾; ②当-1 新定义问题中蕴含的数学抽象核心素养 以学习过的函数相关知识为基础,通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念,通过快速理解新的定义,解决新问题. 1.具有f (??)=-f(x)性质的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.给定下列函数: ??,0 11-?? ①f(x)=x-??;②f(x)=ln1+??;③f(x)={0,??=1, 1 -??,x>1. 12 / 18 1 ??23 9 3 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源 其中满足“倒负”变换的函数是( ) A.①② B.①③ C.②③ 1 1 1 D.① 1-?? 1 ??-1 答案 B 对于①, f(x)=x-??,f (??)=??-x=-f(x),满足;对于②,f(x)=ln1+??,f (??)=ln??+1≠-f(x),不满足; ??,0 对于③,f(??)=0,??=1, -??,1>1, ??{ 11 ?? 1 1 ,x>1, 即f (??)={0,??=1,则f (??)=-f(x),满足. -??,0 2.设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图象绕原点逆时针旋转6后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的值只能是( ) A.√3 B. C.3 D.0 答案 B 设f(1)处的点为A1,若f(x)逆时针旋转6后与原图象重合,则旋转后的A1的对应点A2也在f(x)的图象上,同理A2的对应点A3也在f(x)的图象上,以此类推. 则f(x)对应的图象可以为一个圆周上的12等分的12个点. 当f(x)取值为√3时, 在同一个x处可能同时存在2个f(x)值,如A1和A9,不符合函数定义,故A项错误. 同理,当f(x)=3和0时亦不符合函数定义.故C,D项错误. 故f(1)的值只能是2. √3√3π √3√32 π 1 13 / 18 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源 A组 基础题组 1.函数f(x)=ln(??+1)+√4-??2的定义域为( ) A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2] 答案 B 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A.f(x)=eln x,g(x)=x B.f(x)= ??2-4??+2 1 B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2] ,g(x)=x-2 C.f(x)=2cos??,g(x)=sin x D.f(x)=|x|,g(x)=√??2 答案 D 3.已知f ( 1+???? sin2?? )= ??2+11??2 +??,则f(x)=( ) B.(x-1)2(x≠1) D.x2+x+1(x≠1) A.(x+1)2(x≠1) C.x2-x+1(x≠1) 答案 C ??2+x,x≥0, 4.已知函数f(x)={若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围是( ) -3??,??<0,A.(1,+∞) B.(2,+∞) 14 / 18 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源 C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 答案 D ??,x≥0, 5.设函数f(x)={√若f(a)+f(-1)=2,则a= . √-??,x<0, 答案 ±1 6.已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-√3,√3],则函数y=f(x)的定义域为 . 答案 [-1,2] 解析 因为y=f(x2-1)的定义域为[-√3,√3], 所以x∈[-√3,√3],x2-1∈[-1,2], 所以y=f(x)的定义域为[-1,2]. 7.设函数f(x)={答案 (-3,1) 解析 当a<0时,不等式f(a)<1可化为(2)-7<1,即(2)<8,即(2)<(2),因为0<2<1,所以a>-3,所以-3 解析 ∵f(2x)=2f(x),且当1≤x<2时, f(x)=x,∴f(3)=2f(2)=2×(2)=2. 2 (2)-7,x<0,√??,x≥0, 1?? 若f(a)<1,则实数a的取值范围是 . 1??1??1??1-3 1 9 3 329 B组 提升题组 1.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x2,则f(x)的解析式为( ) A.f(x)=x2-12x+18 15 / 18 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源 1 B.f(x)=3x2-4x+6 C.f(x)=6x+9 D.f(x)=2x+3 答案 B 由f(x)+2f(3-x)=x2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=3x2-4x+6,故选B. 2.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x 0,??≥0, 答案 C 对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项B,f(x)=x-|x|={当x≥0 2??,??<0,时,f(2x)=0=2f(x),当x<0时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x);对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项C, f(2x)=2x+1=2f(x)-1. 3.已知f(x)+3f(-x)=2x+1,则f(x)= . 答案 -x+4 解析 由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1,解方程组{ ??(??)+3??(-??)=2??+1,1 得f(x)=-x+4. ??(-??)+3??(??)=-2??+1, 1 1 4.已知函数f(x),对于任意实数x∈[a,b],当a≤x0≤b时,记|f(x)-f(x0)|的最大值为D[a,b](x0). ①若f(x)=(x-1)2,则D[0,3](2)= ; -??2-2x,x≤0, ②若f(x)={则D[a,a+2](-1)的取值范围是 . 2-|??-1|,??>0,答案 ①3 ②[1,4] 解析 ①由f(2)=1得,D[0,3](2)=|f(x)-1|max,x∈[0,3], ∵f(x)-1=(x-1)2-1,∴当x∈[0,3]时,[f(x)-1]min=-1,[f(x)-1]max=3, ∴|f(x)-1|max=3,即D[0,3](2)=3. ②由题意得,f(-1)=-1+2=1, ∴D[a,a+2](-1)=|f(x)-1|max,x∈[a,a+2], 又|f(x)-1|= 16 / 18 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源 2 2|-??-2x-1|=|(x+1)|,x≤0, { |2-|??-1|-1|=|1-|??-1||,??>0, 可得|f(x)-1|大致图象如下图所示: ∵-1∈[a,a+2]且区间长度为2, 当a=-1时,D[a,a+2](-1)=D[-1,1](-1)=|f(x)-1|max=|f(0)-1|=1, 当a+2=-1时,D[a,a+2](-1)=D[-3,-1](-1)=|f(x)-1|max=|f(-3)-1|=4, ∴D[a,a+2](-1)的取值范围是[1,4]. 素养拓展 5.如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( ) 答案 D 由y与x的关系知,在中间时间段y值不变,只有D符合题意. 17 / 18 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源 6.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则{2 018}+{2 018}+…+{2 018}=( ) A.2 017 B. 2 0172 1 2 2 018 C.1 008 1 1 D.2 016 2 2 2 017 2 017 2 018 答案 B 由题意知,{2 018}=2 018,{2 018}=2 018,……,{2 018}=2 018,{2 018}=0, 所以原式=2 018+2 018+…+2 018=1 2 2 0172 017 2 . 7.若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列三个函数: ①f(x)=??;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2). 其中是“1的饱和函数”的所有序号为( ) A.①③ B.② C.①② D.③ 1 0 1 答案 B 对于①,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则?? 2 =+1,所以??+x0+1=0(x0≠0,0+1?? 0 1 且x0≠-1),显然该方程无实根,因此①不是“1的饱和函数”;对于②,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则2??0+1=2??0+2,解得x0=1,因此②是“1的饱和函数”;对于③,若存在实数 22 x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则lg[(x0+1)2+2]=lg(??0+2)+lg(12+2),化简得2??0-2x0+3=0,显然该 方程无实根,因此③不是“1的饱和函数”. 18 / 18
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