线性代数第四次作业（答案）

线性代数练习题 线性方程组有解的条件

一．选择题：

1．设A是m?n矩阵，齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充要条件是R(A) [ D ] (A) 小于m (B) 小于n (C) 等于m (D) 等于n 注: 对齐次线性方程组Ax?0，系数矩阵的秩等于未知数的个数，有唯一解！ 2. 如果方程组Ax?b对应的齐次方程组Ax?0有无穷多解，则 Ax?b( C ) (A) 必有无穷多解； (B) 可能有惟一解； (C) 可能无解； (D) 一定无解．

注：Ax?0有无穷多解，即R?A??n，其中n为未知数的个数，则当RA?R?A?时，

??Ax?b有无穷多解，当R?A??R?A?时，Ax?b无解。选C

3．设A是m?n矩阵，如果m?n，则 [ ] (A) Ax?b必有无穷多解 (B) Ax?b必有唯一解 (C) Ax?0必有非零解 (D) Ax?0必有唯一解

注：A是m?n矩阵，如果m?n， R?A??min?m,n??m，故R?A??n，Ax?0有无穷多解，C正确。 二．计算题：

1. 求解线性方程组

?x1?4x2?x3??1?x2?x3??1 ??x?3x?2x?023?1

解:对方程组对应的增广矩阵施行行变换

?14?1?1??14?1?1??10?53???r3?r1??r3?r2??011?1????011?1????011?1????r1?4r2??:?B ?13?20??0?1?11??0000???????故相应的同解方程组为

?x1?5x3?3?x1?5x3?3 即?（x3为任意常数） ?x?x??1x??x?133?2?2

2. 取何值时，线性方程组

?(5??)x1?2x2?2x3?0? ?2x1?(6??)x2 ?0

?2x ?(4??)x?03?1有非零解?

?5???解：齐次线性方程组的系数矩阵为A??2?2?26??02??0? 4????因A是方阵，要使得Ax?0有非零解，A需是秩亏的，即A?0。 故

5??226??20204????5???6??002026???2?24??24??20

=?5????6????4????4?4????4?6??? =?5????6????4????4?10?2?? =?5??????6????4????8????5??????8????2??0因此?取2,5,8时，线性方程组有非零解。

?2x1?x2?5x3?x4?x?3x?6x4?123. 用克拉默法则解方程组?2x2?x3?2x4???x1?4x2?7x3?6x4

?8?9 ??5?089?50D1x1??2D101

1?3241?324?50?1?7?50?1?7128?61920?56D210，x1??121D?61?3202614?510?6?12?76

?510?6?12?76三．填空题

1． 已知?1?(1,1,2,1)T,?2?(1,0,0,2)T,?3?(?1,?4,?8,k)T线性相关，则k? 2 分析：?1,?2,?3线性相关，则它们组成的矩阵行秩小于3，

?1?1?A???1,?2,?3???2??11?1??1??1??11?11?????0?4?r3?2r2?0?1?3?r4?r2?0?1?3? ????????r2?r32?r1????0?8?r00000k?2r4?r1?????2k?01k?1000????仅当k?2，R?A??3。

2． 设向量组?1?(a,0,c),?2?(b,c,0),?3?(0,a,b)线性无关，则a,b,c满足关系式

abc?0

分析：线性无关即行满秩若为方阵，即行列式不为零；

a0c?1,?2,?3?bc0?a0ab

四．证明题

c0ab?cbc0a?2abc?0

若向量?1,?2,?3线性无关，证明：?1??1,?2??1??2,?3??1??2??3，?1,?2,?3线性无关.（课上已讲）