x2?11、设函数f(x)?．
x?1（1）求f(x)的单调区间及极值，
（2）如果对任意x?[0,1]恒有f(x)?ax，求a的取值范围．
x2?1答案：f(x)?，由x?1?0解得函数定义域呈(??,?1)?(?1,??)．
x?1
2x(x?1)?(x2?1)x2?2x?1，由f?(x)?0解得x1??1?2,x2??1?2，列表如下： f?(x)??22(x?1)(x?1)x f?(x) (??,?1?2) ?1?2 (?1?2,?1) (?1,?1?2) ?1?2 (?1?2,??) ? ↗ 0 极大 ? ↘ ? ↘ 0 极小 ? ↗ f(x) 由表可知，f(x)在(??,?1?2)及(?1?2,??)上分别是增函数，在[?1?2,?1]及(?1,?1?2]上分别是减函数．
f(x)极大?f(?1?2)??2?22,f(x)极小?f(2?1)?22?2． x2?1x2?1（2）0?x?1时，f(x)?ax等价于a?，记g(x)?，
x(x?1)x(x?1)x2?2x?1则g?(x)?2，因x?(0,1)，
x(x?1)2则x?2x?1?(x?1)?2??1?0,g?(x)?0,g(x)在(0,1]上是减函数，g(x)min?g(1)?1，故a?1．
22x2?1?a?x就是1?a?0，显然成立，综上可得a的取值范围是：(??,1] 当x?0时，
x?12、已知函数f(x)?xln(1?x)?a(x?1)，其中a为常数． （1）当x?[1,??]时，f?(x)?0恒成立，求a的取值范围；
ax的单调区间． x?1xx?a?0得a?ln(1?x)?答案：（1）由f?(x)?ln(1?x)? 1?x1?x（2）求g(x)?f?(x)?
令h(x)?ln(1?x)?11x?，则h?(x)?
1?x1?x(1?x)2
当x?[1,??)时，h?(x)?0,h(x)在[1,??]上单调递增．
?a?h(1)?11???ln2 ?a的取值范围是???,?ln2?． 22??(1?a)x?a,x?(?1,??) x?1
（2）g(x)?ln(1?x)?则g?(x)?
11?ax?2?a ??1?x(x?1)2(x?1)2
① 当a?1时，x?(?1,a?2),g?(x)?0,g(x)是减函数．
x?(a?2,??)时，g?(x)?0,g(x)是增函数．
② 当a?1时，x?(?1,??),g?(x)?0,g(x)是增函数．
综上；当a?1时，增区间为[a?2,??)，，减区间为(?1,a?2]； 当a?1时，增区间为(?1,??)．
3、已知函数f(x)??x2?ax?1?lnx．
（1）若f(x)在(0,)上是减函数，求a的取值范围；
（2）函数f(x)是否既有极大值又有极小值?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案：（1）f?(x)??2x?a?
121111?f(x)在(0,)上为减函数，?x?(0,)时，?2x?a??0恒成立， x22x111即a?2x?恒成立，设g(x)?2x?，则g?(x)?2?2
2xx111?x?(0,)时，g?(x)?0,?g(x)在（0，）上递减速，?g(x)?g()?3
222
?a?3．
（2）若f(x)即有极大值又有极小值，则首先必需f(x)?0有两个不同正要x1，x2，
2即2x?ax?1?0有两个不同正根
???0?a2?8?0????a?22∴当a?22时，f(x)?0有两个不同正根 令?a?0?a?0??2不妨设x1?x2，由f(x)??
12(2x2?ax?1)??(x?x1)(x?x2)知， xx.0?x?x1时，f?(x)?0;x1?x?x2时，f?(x)?0;x?x2时，f?(x)?0
∴当a?22时，f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)．
4、已知函数f(x)?lnx,g(x)?x2?a（a为常数），直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切，且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1． （1）求直线l的方程及a的值；
（2）若h(x)?f(x?1)?g?(x)（注：g?(x)是g(x)的导函数），求h(x)的单调递增区间； （3）当k?R时，试讨论方程f(1?x2)?g(x)?k的解的个数．
答案：（1）由f?(x)x?1?1
故直线l的斜率为1．切点为(1,f(1))，即（1，0），故l的方程为：y?x?1，
12
?y?x?1?∴直线l与y?g(x)的图象相切．等价于方程组?，只有一解， 12y?x?a??2即方程
1211x?x?(a?1)?0有两个相等实根． ???1?4?(1?a)?0,???． 2221x?1??（2）h(x)?ln(x?1)?x(x??1)，由h?(x)? x?1x?1x?0,??1?x?0，当x?(?1,0)时，h(x)是增函数 h?(x)?0，
x?1
即h(x)的单调递增区间为（?1，0）． （3）由（1）知，g(x)?12111x?，令y1?f(1?x2)?g(x)?ln(1?x2)?x2? y2?k 2222
2xx?x3x(1?x)(x?1)????0，则x?0,?1,1 ?x??由y1 令y12221?x1?x1?x当
?,y1的变化关系如下表： x变化时，y1x （??,?1） ? y1y1 ↗ 极大植ln2 ↘ 极小植↗ 极大值ln2 ↘ ? 0 ?1 （?1，0） 0 （0，1） 1 （1，??） 据此可知，当k?? 0 1 2? 0 ? 1时，方程有三解 2当k?(,ln2)，方程有四解
当k?ln2或k?(??,)时，方程有两解 当k?(ln2,??)时，方程无解．
12125、设函数f(x)?ax?1(a,b?Z)曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?3． x?b（1）求f(x)的解析式；
（2）证明：函数y?f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心； （3）证明：曲线y?f(x)任一点的切线与直线x?1和直线y?x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
1?9?2a??3a????a?112?b??4答案：（1）解：f?(x)?a?，于是，解得或 ???21(x?b)?b??1?b??8?a??02??3??(2?b)
因a,b?Z，故f(x)?x?1． x?1（2）证明：已知函数y1?x,y2?所以函数g(x)?x?1都是奇函数． x11?1． 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形，而f(x)?x?1?xx?1可知．函数g(x)的图象按向量a?(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形，
（3）证明；在曲线上作取一点?x0,x0???1??， x0?1?
由f?(x0)?1?1知，过此点的切线方程为 2(x0?1)2x0?x0?1?1?y???1?(x?x0)． 2?x0?1(x?1)0??令x?1，得y??x?1?x0?1，切线与直线x?1交点为?1,0?．
x?1x0?1?0?令y?x，得y?2x0?1切线与直线y?x交点为(2x0?1,2x0?1)，直线x?1与直线x?1与直线
y?x的交点为（1，1）．
从而所围三角形的面积为
1x0?11?1|2x0?1?1|?
2x0?122|2x0?2|?2 x0?1
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