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一、基本概念复习
1. 什么是正定矩阵？正定矩阵的性质（至少说四条）？怎样判定一个矩阵是正定矩阵？
2. 线性空间的定义？基本性质（至少说四条）？子空间定义？子空间的判定？
3. 子空间交、和、直和定义？怎样判定直和？关于子空间最重要的两条性质是什么？ 4．什么是子空间的补及正交补的定义？两者有什么区别和联系？
5．生成子空间的定义？生成子空间的基、维数怎确定？写出计算课本第270页第18大题第1小题的步骤？
6．线性空间基、维数、坐标的定义？写出基坐标及坐标变换公式？过渡矩阵和可逆矩阵的关系？ 7．Pn?n的维数与一组基？Pn?n中全体对称、反对称、上三角矩阵的维数分别是多少？维数
是否和所考虑的数域有关？请举例说明。
8．线性空间同构的定义？同构的基本性质（至少说四条）？
9．线性变换的定义？线性变换的常见运算有几个？线性变换的乘法是否可换？举例说明？ 10．线性变换与基像的关系？怎样写出线性变换在一组基下的矩阵？线性变换在不同基下矩阵之间的关系？请写出课本第322页第7大题第6小题的步骤？
11．线性变换和矩阵的关系（至少说四条）？线性变换前后向量在一组基下坐标的关系？ 12．相似矩阵的定义？相似矩阵的性质（至少说四条）？
13．线性变换及矩阵特征值和特征向量的定义？两者有何区别和联系？求线性变换特征值及特征向量的步骤？
14．线性变换的行列式、特征多项式的定义？矩阵特征值与矩阵迹、行列式的关系？ 15．线性变换对角化的充要条件？线性变换特征值的性质？什么是Hamilton-Cayley定理？ 16. 给定具体线性变换，怎样判断它是否可对角化？请写出步骤？
17．什么是幂零矩阵?写出n阶幂零矩阵A的特征多项式？迹？行列式？
18．线性变换?的值域与核定义？怎样计算值域及核？以课本第323页第14大题为例说明？值域及核的维数的关系？值域与核的和是否是直和？为什么？
19．什么是幂等矩阵？幂等矩阵的特征值？实对称幂等矩阵是否可对角化？能否取掉实对
称性？
20．什么是不变子空间？请写出课本第326页第25大题的步骤？ 21．什么是若当块？什么是若当形矩阵？
22．什么是??矩阵？怎样判断??矩阵的可逆性？把??矩阵化为标准形的步骤？ 23．什么是??矩阵的不变因子？行列式因子？怎样求??矩阵的不变因子？
24。设A是n阶方阵？什么是A的不变因子、行列式因子、初等因子？三者有何关系？A
的行列式因子有几个？ 25．n阶方阵A与B相似的充分必要条件？A与A是否相似？怎样计算n阶方阵A的若当标准形？
26. 什么是欧氏空间？解释向量的长度、正交、夹角概念？什么是度量矩阵？度量矩阵与内积有何关系？参见课本第393页第1大题。
27．什么是正交向量组？有何性质？什么是正交基、标准正交基？怎样把无关向量组化为等价的标准正交基？
28．什么是欧氏空间的同构?性质（至少说四条）？Mn(R)是否能成为欧氏空间？Mn(R)
1
T2
和哪个欧氏空间同构？
29．什么是正交变换？有限维正交变换的等价刻画有几条?正交变换都可逆吗？为什么？证
明或者举例说明？
30．什么是正交矩阵？正交矩阵的性质？正交矩阵的特征值都是实数吗?为什么？ 上三角正交矩阵是否一定是对角矩阵？两个实对称矩阵A与B正交相似的充要条件？ 31．什么是对称变换？写出对称变换?的不变子空间的正交补仍是?的不变子空间的步骤。
什么是反对称变换？写出反对称变换?的不变子空间的正交补仍是?的不变子空间的步骤。
32．实对称矩阵的性质？写出实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤？
33．若Ak?0,且A是实对称矩阵，则A?0对吗？取掉A是实对称矩阵，结论A?0还
成立吗？若Ak?0,但A?0，A能否对角化？ 如果A是实对称幂等矩阵，则A相似于dia(1,?1,0?0)，对吗？取掉实对称，结论还成立吗？ 34．请写出课本第393页第5大题及第7大题的步骤？
35．请写出证明课本第394页第12大题的步骤？利用它证明秩（A）=秩（AA）？
T?10?36．请写出证明课本第269页第13大题的步骤？若A???11??，则C(A)的维数？
??37．请写出证明课本第394页第10大题的步骤？
38．请写出证明课本第322页第10及11大题的步骤？
39．什么是数域上P的多项式f(?)??n?an?1?n?1???a1??a0的友矩阵Cf？Cf的不变因子？ 二、填空题
1.设V1和V2是线性空间V的子空间, 则包含在V1和V2中的最大子空间是 。 2．在P中,由基?1?(1,0),?2?(1,1),到基?1?(2,1),?2?(0,2)的过度矩阵是 。 3.设?是P中的一个线性变换，若?关于基??1,?2?的矩阵为?22?ab??，那么?关于基cd???3?2,?1?的矩阵为 。
4. 已知5?5矩阵的初等因子为?,??1,??1,(??2)，那么A的不变因子为
_____.
5．设A为n级实对称矩阵，且A?0，k为某一正整数，则A= 。
6.在P中,向量??(4,12,6)在基?1?(?2,1,3),?2?(?1,0,1),?3?(?2,?5,?1) 下的坐标为_____。
2
32k3
7. A是3阶矩阵，A的特征值是1，-1，2，则A的特征值是_____。
8．在P中定义线性变换?(x)?(0,x1,x2)，?x?(x1,x2,x3)?P3,则?的值域为_____。
9．设k是实数，T是正交矩阵，若kT也是正交矩阵，则k? 。
10.设V??A?M2(R)|Tr(A)?0?是关于矩阵的加 法与数乘构成的实线性空间，则线性空间V的维数等于 .
11．在P[x]4中，f(x)??1?x?2x2在基2,x,x2,x3下的坐标是 .
12．已知3阶矩阵A的三个特征值为2，3，4，则?A的特征多项式f(?)?_______. 13．已知2阶方阵A的特征值为3和1，它们对应的特征向量分别为
T?1*32
?2??2???，X1??X?2?0??2??，则A? . ????14．在欧氏空间R里，向量??(1,1,2)与向量??(0,1,1)的夹角为 . 14．（1） 已知A,B为三阶相似矩阵，?1?1,?2?2为A的特征值，行列式|B|?2，则行
3(A?E)?1列式
00= 。 *(2B)22 (2) 设A,B为n阶矩阵，其中A为可对角化矩阵且满足A?A?0,B?B?E，
r(AB)?2，则行列式|A?2E|= ；
(3) 已知A为三阶可对角化矩阵，?1??2?0,?3?-2为其三个特征值，A为A的伴随矩阵，则行列式|2A?3A|= 。
15． (1) 已知A,B为三阶相似矩阵，且|A?2E|?0，?2?1,?3?-1为B的两个特征值，则行列式|A?2AB|= 。
**?1，?2所对应的特征向量分别 (2) 设三阶实对称矩阵A有三个不同的特征值?1，?2,?3。
为?1?(1,a,1),?2?(a,a?1,1)，则?3所对应的特征向量?3= 。
15.在P中,从基?1?(3,?1),?2?(2,?3),到基?1?(1,0)，?2?(0,1)的过渡矩阵是_____. 2.在P中，已知向量组?1?(1,2,1,?2),?2?(2,3,1,0),?3?(1,2,2,?3)，
42TT?1?(1,1,1,1),?2?(1,0,1,?1),?3?(1,3,0,?4). 设V1?L(?1,?2,?3)，
3
4
V2?L(?1,?2,?3)，则V1?V2的维数是 ．
16. 在P中定义线性变换?(x)?(0,x1,x2)，?x?(x1,x2,x3)?P3,则?的核为_____. 17.已知3阶矩阵A的三个特征值为2，3，4，则?A的特征多项 式f(?)?_______.
T32
?210???18. 级矩阵A??021?的不变因子为_____.
?002????1?10??? 19．已知3维欧氏空间中有一组基?1,?2,?3，其度量矩阵为A???120?，向量
?003?????2?1?3?2??3,则|?| = . 三、单项选择题
1.设V1和V2是线性空间V的子空间，则下列集合不是V的子空间的为( ).
A． V1+V2 B. V1?V2 C. V1?V2 D. V1?{0}
2.设?是数域P上线性空间V的线性变换,?和?是?的分别属于特征值?和?的特征向量，那么 ( ).
A． 若?与?线性相关，则??? B. 若?与?线性无关, 则??? C． 若???,则?与?线性无关 D. 若???,则?与?线性相关 3. 下列矩阵中的特征值一定为实数的矩阵为（ ） A. 可逆矩阵 B. 正交矩阵 C. 实对称矩阵 D. 过渡矩阵 4.矩阵A有一个不变因子为??2?，则下列结论正确的是 ( ). A. A相似与对角矩阵 B. A是退化矩阵
C. A的初等因子都是?的幂或??2的幂 D. A是非退化矩阵 5. 设A是n级实矩阵,则A为正交矩阵的充要条件为( ). A. 矩阵A的列向量组是R的标准正交基 B. AC. |A|?1或?1 D. 矩阵A的列向量两两正交.
6.下列的子集中是的子空间的为 。
A. ｛(a1,a2?,an)︱ai?Z,i?1,2,?,n,Z为整数集｝
B.｛(a1,a2?,an)︱ai?0｝ C. {(a1,?,an)|a1?an?0} D. {(a1,?,an)|a1?an?1}
7.设V是n维线性空间，则V上的线性变换全体组成的线性空间的维数为 。 A. n B.
n?12?A
11n(n?1) C. n(n?1) D. n2
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